Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость на пути из B в A как $v$ км/ч. Тогда на пути из A в B скорость была $(v-3)$ км/ч.

Шаг 1. Запишем времена в пути. Время из A в B: $t_1 = \frac{70}{v-3}$ часов. Время из B в A с учётом остановки: $t_2 = \frac{70}{v} + 3$ часов.

Шаг 2. По условию эти времена равны: $$\frac{70}{v} + 3 = \frac{70}{v-3}$$

Шаг 3. Приведём левую часть к единой дроби: $$\frac{70 + 3v}{v} = \frac{70}{v-3}$$

Шаг 4. Перемножим крест-накрест (допустимо при $v > 3$): $$(70 + 3v)(v-3) = 70v$$

Шаг 5. Раскроем скобки: $$70v - 210 + 3v^2 - 9v = 70v$$

Шаг 6. Упростим, перенеся всё в одну сторону: $$3v^2 - 9v - 210 = 0$$ Делим на 3: $$v^2 - 3v - 70 = 0$$

Шаг 7. Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $$(v-10)(v+7) = 0$$ Отсюда $v = 10$ или $v = -7$.

Шаг 8. Так как скорость положительна и больше 3 км/ч, то $v = 10$ км/ч.