Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость первого велосипедиста как $v$ км/ч. Тогда скорость второго равна $(v - 1)$ км/ч, где $v > 1$.

Время в пути первого велосипедиста: $t_1 = \frac{240}{v}$ часов.

Время в пути второго велосипедиста: $t_2 = \frac{240}{v-1}$ часов.

По условию первый прибыл на 1 час раньше, значит: $$\frac{240}{v-1} - \frac{240}{v} = 1$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{240v - 240(v-1)}{v(v-1)} = 1$$

$$\frac{240v - 240v + 240}{v(v-1)} = 1$$

$$\frac{240}{v(v-1)} = 1$$

Отсюда: $$240 = v(v-1)$$

$$v^2 - v - 240 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения: $$v = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 960}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{1 \pm 31}{2}$$

Получаем: $v = 16$ или $v = -15$.

Поскольку скорость положительна, $v = 16$ км/ч.

Проверка: первый едет 16 км/ч — время 15 часов, второй едет 15 км/ч — время 16 часов. Разница 1 час. ✓