Задание 10 ЕГЭ профиль: проценты, сплавы, движение, работа, прогрессии

Что проверяет задание

Задание 10 профильного ЕГЭ проверяет умение переводить текстовую задачу на язык математики: выбирать неизвестную величину, составлять уравнение или систему по смыслу условия и доводить решение до числового ответа. Здесь нет сложной техники — нужны аккуратность, понимание процентов и стандартных схем движения, работы и прогрессий.

Проверяются шесть типов задач:

• проценты, сплавы и смеси;
• движение по прямой;
• движение по окружности;
• движение по воде (течение);
• совместная работа;
• арифметическая и геометрическая прогрессии.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задача даётся в виде небольшого текста с конкретными числовыми данными (проценты, расстояния, время, объёмы). Требуется найти одно число — ответ записывается без единиц измерения, если не сказано иное. Задание оценивается в 1 балл, засчитывается только полностью верный числовой ответ, часть решения не оценивается. Обычно задача решается за 3-5 минут при знании схемы.

Что нужно знать

• Изменение величины на $p\%$: новое значение $a\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ при увеличении, $a\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$ при уменьшении.
• Последовательные изменения на $p_1\%$, затем на $p_2\%$: итог $a\left(1+\dfrac{p_1}{100}\right)\left(1+\dfrac{p_2}{100}\right)$ (проценты не складываются напрямую).
• Концентрация вещества в растворе/сплаве: $C=\dfrac{m_{в}}{m_{р}}\cdot 100\%$, где $m_в$ — масса вещества, $m_р$ — масса всего раствора.
• При смешивании сплавов сохраняется суммарная масса каждого вещества: $m_1C_1+m_2C_2=(m_1+m_2)C$.
• Основное уравнение движения: $S=vt$, отсюда $v=\dfrac{S}{t}$, $t=\dfrac{S}{v}$.
• Встречное движение (сближение): $v_{сбл}=v_1+v_2$, время встречи $t=\dfrac{S}{v_1+v_2}$.
• Движение в одном направлении (догон): $v_{сбл}=|v_1-v_2|$, $t=\dfrac{S}{|v_1-v_2|}$.
• Движение по окружности длиной $L$: время первой встречи при движении в разные стороны $t=\dfrac{L}{v_1+v_2}$, в одну сторону $t=\dfrac{L}{|v_1-v_2|}$.
• Движение по воде: скорость по течению $v+v_т$, против течения $v-v_т$, где $v$ — собственная скорость, $v_т$ — скорость течения.
• Производительность (работа за единицу времени) при выполнении всей работы за время $t$: $\dfrac{1}{t}$. Совместная работа: $\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{t}$, где $t$ — время совместного выполнения.
• Арифметическая прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$, сумма $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\,n$.
• Геометрическая прогрессия: $b_n=b_1q^{n-1}$, сумма $S_n=b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}$ (при $q\neq1$).

Методы решения

1. Метод последовательного умножения на коэффициенты (проценты, сплавы). Каждое изменение на $p\%$ записывается как умножение на $\left(1\pm\dfrac{p}{100}\right)$, коэффициенты перемножаются по порядку событий. Мини-пример: товар стоил 500 рублей, подорожал на 10%, затем подешевел на 10%. Новая цена: $500\cdot1{,}1\cdot0{,}9=495$ рублей — не вернулась к исходной, потому что базы для расчёта процентов разные.

2. Метод «было — стало» через уравнение баланса (сплавы, смеси). Записывают массу вещества до и после смешивания и составляют уравнение сохранения. Мини-пример: смешали 2 кг раствора с концентрацией 10% и 3 кг раствора с концентрацией 20%. Масса вещества: $2\cdot0{,}1+3\cdot0{,}2=0{,}8$ кг, концентрация смеси $\dfrac{0{,}8}{5}\cdot100\%=16\%$.

3. Метод скорости сближения/удаления (движение по прямой, по окружности, по воде). Вводят переменную (обычно собственную скорость), выражают через неё скорости при разных условиях движения и составляют уравнение на время или расстояние. Мини-пример: катер идёт по течению 20 км и обратно, скорость течения 2 км/ч, всё заняло 3 часа. Пусть собственная скорость $v$. Тогда $\dfrac{20}{v+2}+\dfrac{20}{v-2}=3$ — решаем как уравнение относительно $v$.

4. Метод «единица работы» (совместная работа). Всю работу принимают за 1, производительность каждого — обратная величина времени, складывают производительности при совместной работе. Мини-пример: первый рабочий делает деталь за 6 часов, второй — за 3 часа. Вместе: $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$ работы в час, значит вместе справятся за 2 часа.

5. Метод формул прогрессий (задачи на прогрессии). Определяют тип прогрессии по условию (постоянная разность — арифметическая, постоянное отношение — геометрическая) и применяют формулы $n$-го члена и суммы. Мини-пример: первый месяц заработали 1000 рублей, каждый следующий на 200 больше. За 6 месяцев: $S_6=\dfrac{2\cdot1000+(6-1)\cdot200}{2}\cdot6=9000$ рублей.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать условие и определить тип задачи (проценты, движение, работа, прогрессия).
2. Выбрать неизвестную величину и обозначить её буквой (обычно то, что спрашивают, или удобная промежуточная величина).
3. Выразить все остальные величины из условия через эту переменную, используя формулы раздела «Что нужно знать».
4. Составить уравнение (или систему), опираясь на ключевое условие задачи — то, что связывает выраженные величины.
5. Решить уравнение, при необходимости отбросить посторонние или физически бессмысленные корни (отрицательное время, скорость больше 100% и т.п.).
6. Проверить, что найденное значение отвечает именно на поставленный вопрос — иногда нужно вычислить не $x$, а производную от него величину.
7. Записать окончательный ответ в требуемом виде (число, без единиц измерения, если не указано иное).

Разбор примеров

Пример 1. В 2008 году в квартале проживало $40\,000$ человек. В 2009 году население выросло на $8\%$, а в 2010 году — ещё на $9\%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в 2010 году?

Шаг 1. Рост на $8\%$ означает умножение на коэффициент $1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$. Шаг 2. Население в 2009 году: $40\,000\cdot1{,}08=43\,200$ человек. Шаг 3. Рост на $9\%$ в 2010 году считается от числа 2009 года, коэффициент $1{,}09$. Шаг 4. Население в 2010 году: $43\,200\cdot1{,}09=47\,088$ человек. Шаг 5. Проверка: проценты последовательные, поэтому нельзя складывать $8\%+9\%=17\%$ и умножать один раз — это привело бы к неверному ответу $46\,800$. Ответ: $47\,088$.

Пример 2. В понедельник акции подорожали на некоторое число процентов, во вторник подешевели на то же число процентов, в результате стали дешевле на $4\%$ исходной цены. На сколько процентов подорожали акции в понедельник?

Шаг 1. Пусть исходная цена — $a$, искомый процент — $x$. Шаг 2. После подорожания на $x\%$ цена стала $a\left(1+\dfrac{x}{100}\right)$. Шаг 3. После подешевения на $x\%$ от новой цены: $a\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=a\left(1-\dfrac{x^2}{10000}\right)$. Шаг 4. По условию итоговая цена на $4\%$ ниже исходной: $a\left(1-\dfrac{x^2}{10000}\right)=a\left(1-\dfrac{4}{100}\right)$. Шаг 5. Сокращаем на $a$ и решаем: $\dfrac{x^2}{10000}=\dfrac{4}{100}=0{,}04$, значит $x^2=400$, $x=20$ (отрицательный корень не подходит — процент положителен). Ответ: $20$.

Пример 3. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на $8\%$. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Шаг 1. Пусть цена куртки — $K$, цена одной рубашки — $r$. Шаг 2. Условие «четыре рубашки дешевле куртки на 8%» означает: $4r=K\left(1-\dfrac{8}{100}\right)=0{,}92K$. Шаг 3. Отсюда цена одной рубашки: $r=0{,}23K$. Шаг 4. Цена пяти рубашек: $5r=5\cdot0{,}23K=1{,}15K$. Шаг 5. Это на $15\%$ больше цены куртки, так как $1{,}15K=K(1+0{,}15)$. Ответ: $15$.

Типичные ошибки и ловушки

• Складывание процентов при последовательных изменениях вместо перемножения коэффициентов — так теряется точный ответ (как в примере 1).
• Путаница базы процента: увеличение на $p\%$ «от чего» — от исходного значения или от промежуточного результата. Нужно внимательно читать, к какому числу относится процент.
• Неверный знак скорости при движении против течения или при догоне — скорость сближения при движении в одну сторону равна разности, а не сумме скоростей.
• Забывают, что при движении по кругу в одну сторону догоняющий проходит на один круг больше, а не просто равные расстояния.
• В задачах на совместную работу путают время выполнения всей работы одним исполнителем с производительностью — производительность есть обратная величина времени, а не сама временная характеристика.
• Отбор корней уравнения без проверки на смысл задачи: отрицательное время, скорость больше некоторого разумного предела, процент больше 100% там, где это невозможно.
• Неправильное определение типа прогрессии — путают арифметическую и геометрическую, если разность/отношение не проверены явно на нескольких членах.
• Ошибки в округлении: если ответ должен быть целым числом (люди, штучные товары), а получилось нецелое — это сигнал пересчитать шаги.

Как готовиться

Отработайте отдельно каждую подтему: сначала проценты и сплавы, затем все виды движения (прямая, окружность, вода), потом работа и прогрессии — на 8-10 задачах каждого вида, чтобы закрепить стандартные уравнения. После этого решайте вперемешку без подсказки типа задачи, чтобы научиться быстро узнавать схему по формулировке. Заведите короткий список формул из раздела «Что нужно знать» и держите его перед глазами при тренировке первые несколько занятий. Обязательно проверяйте каждый ответ на здравый смысл: подставляйте найденное число обратно в условие. Решайте задачи с полным оформлением — переменная, уравнение, решение, проверка, ответ — это экономит время на экзамене за счёт автоматизма и снижает число арифметических ошибок.