Задачи на движение по окружности: разбор задания 10 ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

Задачи на движение по окружности — это разновидность классических задач на движение, где объекты (автомобили, мотоциклисты, велосипедисты, спортсмены) двигаются не по прямой, а по замкнутой круговой трассе фиксированной длины. Особенность таких задач в том, что объекты могут стартовать из одной точки или из разных точек окружности, двигаться в одном направлении или навстречу друг другу, а «встреча» на окружности происходит не так, как на прямой — нужно учитывать, что путь замкнут и объекты могут обгонять друг друга, проходя целые круги.

В задании 10 такие задачи обычно требуют найти время до первой встречи, скорость одного из участников или длину трассы. Ключевая идея — свести задачу к работе с относительной скоростью, то есть скоростью, с которой сокращается или, наоборот, накапливается расстояние между объектами.

Что нужно знать

Для решения задач этого типа достаточно освоить несколько базовых фактов.

1. Относительная скорость при движении в одном направлении. Если два объекта движутся по окружности в одну сторону со скоростями $v_1$ и $v_2$ (пусть $v_1 > v_2$), то расстояние между ними по ходу движения сокращается (более быстрый «нагоняет» более медленного) со скоростью $$v_{отн} = v_1 - v_2.$$

2. Относительная скорость при движении навстречу друг другу. Если объекты движутся в противоположных направлениях, они сближаются со скоростью $$v_{отн} = v_1 + v_2.$$

3. Длина круга как единица измерения пути. Если длина трассы равна $L$, то «обогнать на круг» означает пройти относительно другого объекта путь, равный $L$. Это ключевой момент: встреча (в широком смысле — совпадение положения на трассе) на окружности происходит не тогда, когда пройденные пути равны, а тогда, когда разность (или сумма) пройденных путей кратна длине окружности.

4. Условие первой встречи в типовых случаях.

• Старт из одной точки, движение в одном направлении: первая встреча (первый раз, когда быстрый обгоняет медленного) происходит, когда быстрый прошёл относительно медленного ровно один круг: $$(v_1 - v_2)\cdot t = L.$$

• Старт из диаметрально противоположных точек, движение в одном направлении: между стартовыми точками уже есть расстояние $L/2$ (по дуге в направлении движения). Чтобы поравняться, быстрый должен «наверстать» именно эту половину круга: $$(v_1 - v_2)\cdot t = \frac{L}{2}.$$

• Старт из одной точки, движение навстречу друг другу: первая встреча происходит, когда сумма пройденных путей равна длине круга: $$(v_1 + v_2)\cdot t = L.$$

• Старт из диаметрально противоположных точек, движение навстречу друг другу: сумма пройденных путей должна быть равна $L/2$ (расстояние между точками по одной из дуг): $$(v_1 + v_2)\cdot t = \frac{L}{2}.$$

5. Повторные встречи. Если нужно найти не первую, а $k$-ю встречу, к правой части уравнения добавляется соответствующее число кругов: вместо $L$ пишут $k \cdot L$ (для движения в одну сторону) или $(2k-1)\cdot L$ (для встречного движения, если считать с первой встречи и до полного оборота относительно друг друга — на экзамене такие усложнения редки, но принцип нужно понимать).

6. Перевод единиц. Скорости обычно даны в км/ч, а ответ часто нужен в минутах. Не забывайте: час — это 60 минут, поэтому при переводе времени из часов в минуты результат умножают на 60, а при обратном переводе — делят.

Больше для этой подтемы ничего специфического не требуется: вся сложность обычно сводится к тому, чтобы правильно определить относительную скорость и правильно определить, какое расстояние должно быть «пройдено» относительно друг друга — целый круг, половина круга или несколько кругов.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на движение по окружности удобно представить в виде последовательности шагов.

Шаг 1. Определить тип задачи. Выясните: объекты стартуют из одной точки или из разных (обычно диаметрально противоположных) точек; движутся в одном направлении или навстречу друг другу. От этого зависит, какую формулу применять.

Шаг 2. Ввести переменные. Если скорость одного из объектов неизвестна, обозначьте её переменной (например, $v$), а скорость второго выразите через неё, используя условие («на столько-то больше/меньше»).

Шаг 3. Определить относительную скорость. Для движения в одном направлении — это разность скоростей, для встречного движения — сумма.

Шаг 4. Определить начальное «относительное расстояние». Это расстояние, которое нужно «пройти» относительно друг друга, чтобы произошла нужная по условию встреча:

• $L$ — если старт из одной точки и движение в одном направлении (или навстречу друг другу);
• $L/2$ — если старт из диаметрально противоположных точек.

Если требуется не первая, а последующая встреча — добавляйте целое число кругов $L$.

Шаг 5. Составить и решить уравнение. Общий вид уравнения: $$v_{отн}\cdot t = S_{отн},$$ где $S_{отн}$ — относительное расстояние из шага 4. Из этого уравнения выражается искомая величина: время, скорость или длина трассы.

Шаг 6. Проверить единицы измерения и разумность ответа. Перевести полученное время или скорость в единицы, которые требует условие задачи (обычно минуты для времени и км/ч для скорости). Проверить, что скорость положительна и не противоречит здравому смыслу (например, не должна получиться отрицательной или нереально большой).

Этот алгоритм покрывает практически все задачи данного типа, встречающиеся в задании 10.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна $14$ км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на $21$ км/ч больше скорости другого?

Шаг 1. Тип задачи: старт из диаметрально противоположных точек, движение в одном направлении.

Шаг 2. Обозначим скорость более медленного мотоциклиста через $v$ (км/ч), тогда скорость более быстрого равна $v + 21$. Заметим, что разность скоростей нам уже известна: $$v_1 - v_2 = 21 \text{ км/ч}.$$ Саму переменную $v$ вводить и находить не нужно — она сократится, так как в задаче спрашивают только время.

Шаг 3. Так как движение происходит в одном направлении, относительная скорость — это разность скоростей: $$v_{отн} = v_1 - v_2 = 21 \text{ км/ч}.$$

Шаг 4. Старт из диаметрально противоположных точек, значит, начальное относительное расстояние равно половине длины трассы: $$S_{отн} = \frac{L}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ км}.$$

Шаг 5. Составляем уравнение: $$21 \cdot t = 7,$$ откуда $$t = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \text{ ч}.$$

Шаг 6. Переводим в минуты: $$t = \frac{1}{3} \cdot 60 = 20 \text{ минут}.$$

Ответ: 20.

Пример 2.

Условие: из одной точки круговой трассы, длина которой равна $14$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $80$ км/ч, и через $40$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

Шаг 1. Тип задачи: старт из одной точки, движение в одном направлении, известно, что первый обогнал второго ровно на один круг за заданное время.

Шаг 2. Обозначим скорость второго автомобиля через $v_2$ (км/ч). Скорость первого известна: $v_1 = 80$ км/ч.

Шаг 3. Так как движение в одном направлении, относительная скорость: $$v_{отн} = v_1 - v_2 = 80 - v_2.$$

Шаг 4. «Опередить на один круг» означает, что относительное расстояние равно длине трассы: $$S_{отн} = L = 14 \text{ км}.$$

Шаг 5. Время дано в минутах, переведём в часы: $$t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}.$$ Составляем уравнение: $$(80 - v_2)\cdot \frac{2}{3} = 14.$$ Решаем: $$80 - v_2 = 14 \cdot \frac{3}{2} = 21,$$ $$v_2 = 80 - 21 = 59.$$

Шаг 6. Проверка: скорость положительная, меньше скорости первого автомобиля — это логично, так как второй отстаёт. Единицы измерения совпадают с требуемыми (км/ч).

Ответ: 59.

Типичные ошибки

Путаница между суммой и разностью скоростей. Самая частая ошибка — использовать сумму скоростей там, где объекты движутся в одном направлении (нужна разность), или наоборот. Правило простое: одинаковое направление — разность, противоположные направления — сумма.

Забывают про половину круга при старте из диаметрально противоположных точек. Если стартовые точки не совпадают, а находятся на противоположных концах диаметра, начальное расстояние между объектами по дуге в направлении движения равно половине длины окружности, а не всей длине. Игнорирование этого факта приводит к ответу, отличающемуся в два раза от правильного.

Ошибки при переводе единиц времени. Скорости заданы в км/ч, а время в задаче нередко нужно выразить в минутах (или наоборот дано в минутах, а скорости — в часах). Забытый перевод $40$ минут в $\dfrac{2}{3}$ часа — одна из самых частых причин неверного ответа.

Неверное определение количества кругов при повторных встречах. Если в задаче спрашивается не про первую встречу, а, например, про третью, нужно учитывать, что относительное расстояние равно не $L$, а $3L$ (при движении в одну сторону из одной точки). Забытое умножение на номер встречи — распространённая ошибка.

Путаница между «обогнать на круг» и «встретиться». На самом деле, когда объекты стартуют из одной точки и движутся в одном направлении, «обогнать на круг» и «поравняться (встретиться) в первый раз» — это одно и то же событие, потому что до этого момента более быстрый объект просто не может оказаться в той же точке трассы, что и медленный. Непонимание этой эквивалентности иногда приводит к попыткам искать какое-то другое, «третье», условие.

Неверное составление уравнения из-за пропущенной переменной. Иногда школьники вводят слишком много переменных (отдельно для обеих скоростей) там, где достаточно работать сразу с разностью или суммой скоростей, данной в условии напрямую. Это усложняет решение и повышает риск арифметической ошибки.

На что обратить внимание на экзамене

При разборе условия сразу выделяйте три ключевых параметра: точки старта (одна или разные), направление движения (одинаковое или встречное) и что именно требуется найти (время, скорость или длину трассы). От этой тройки параметров зависит, какую из формул применять.

Внимательно считывайте формулировки вроде «поравняются», «встретятся», «опередит на круг», «догонит» — все они, по сути, описывают одно и то же условие: относительное расстояние становится равным целому числу кругов (или половине круга при разных стартовых точках).

Проверяйте единицы измерения в вопросе задачи — если скорости даны в км/ч, а спрашивают время в минутах, обязательно сделайте перевод в конце решения, а не в середине, чтобы не запутаться в дробях.

После получения ответа делайте прикидочную проверку: подставьте найденное значение скорости или времени обратно в условие и убедитесь, что относительное расстояние действительно равно требуемому числу кругов. Это особенно полезно, если в задаче встречаются нестандартные формулировки (например, «после третьего обгона» или «на полтора круга»).

Наконец, не пытайтесь запомнить формулы механически — важно понимать физический смысл: относительная скорость показывает, с какой скоростью меняется расстояние между объектами, а условие встречи всегда сводится к тому, что это расстояние должно стать кратным длине окружности (с поправкой на начальное смещение, если старт был из разных точек).