Задача 323856. Задачи на движение по окружности

Шаг 1. Найдём разницу скоростей гонщиков.

Через 15 минут первый гонщик обогнал второго ровно на один круг (3 км). Это означает, что за четверть часа расстояние между ними составило 3 км.

Разница скоростей: $v_1 - v_2 = \frac{3}{0,25} = 12$ км/ч

Шаг 2. Выразим скорости через одну переменную.

Пусть скорость второго гонщика — $x$ км/ч. Тогда скорость первого: $v_1 = x + 12$ км/ч.

Шаг 3. Найдём общее расстояние.

Оба гонщика проезжают 60 кругов по 3 км: $S = 60 \times 3 = 180$ км.

Шаг 4. Составим уравнение на основе разницы времён.

Время в пути первого: $t_1 = \frac{180}{x+12}$ ч

Время в пути второго: $t_2 = \frac{180}{x}$ ч

По условию второй приехал на 10 минут позже, то есть на $\frac{1}{6}$ часа:

$$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+12} = \frac{1}{6}$$

Шаг 5. Решим уравнение.

Привели к общему знаменателю: $$\frac{180(x+12) - 180x}{x(x+12)} = \frac{1}{6}$$

$$\frac{2160}{x(x+12)} = \frac{1}{6}$$

Перемножаем крест-накрест: $$x^2 + 12x = 12960$$

$$x^2 + 12x - 12960 = 0$$

По теореме Виета или дискриминанту: $x = 108$ или $x = -120$.

Так как скорость положительна, $x = 108$ км/ч.