Задача 99600. Задачи на движение по окружности

Разберёмся, что происходит при встречах стрелок.

Установим скорости стрелок: Минутная стрелка делает полный оборот (60 делений циферблата) за 60 минут. Часовая стрелка делает полный оборот (60 делений) за 12 часов = 720 минут. Скорость минутной стрелки в 12 раз больше часовой: $v_{мин} = 12 \cdot v_{час}$

Проанализируем путь до четвёртой встречи: В 8:00 минутная стрелка отстаёт от часовой на 8 часовых делений (часовая указывает на 8, минутная на 12).

Для каждой встречи минутная стрелка должна:

1. Сначала «догнать» эти 8 делений
2. Затем обойти часовую стрелку на полный круг — это происходит 3 раза (вторая, третья, четвёртая встречи)
3. Дополнительно пройти ещё $L$ делений, пока часовая сама движется

Составим уравнение через время: Пусть часовая стрелка до четвёртой встречи пройдёт $L$ делений. Тогда минутная пройдёт: $8 + 36 + L$ делений (8 — начальный разрыв, 36 — три полных оборота, $L$ — дополнительно).

Время для часовой: $t = L$ Время для минутной: $t = \frac{8 + 36 + L}{12}$

Приравняем: $$L = \frac{8 + 36 + L}{12}$$ $$12L = 44 + L$$ $$11L = 44$$ $$L = 4$$

Найдём ответ: 4 деления часовой стрелки соответствуют 4 часам = 240 минутам.