Задание 10 ЕГЭ: проценты, сплавы и смеси — теория, формулы, разбор

О чём эта подтема

Задание 10 профильного ЕГЭ — это текстовая задача с практическим сюжетом: экономика, население, химия, финансы. Подтема «проценты, сплавы и смеси» объединяет два типа сюжетов, которые решаются одним и тем же приёмом — построением баланса величины.

Первый тип — последовательное изменение числа на несколько процентов: население города растёт из года в год, цена товара несколько раз меняется, вклад в банке увеличивается каждый год на определённый процент. Здесь важно понимать, что каждое следующее изменение считается не от исходного числа, а от результата предыдущего шага.

Второй тип — сплавы, растворы и смеси: смешивают два раствора разной концентрации, добавляют чистое вещество или воду, выпаривают жидкость. Здесь ключевая идея — сохранение массы растворённого вещества (металла в сплаве, соли в растворе, кислоты) при смешивании, даже если общая масса смеси меняется.

Оба типа задач сводятся к составлению одного уравнения относительно неизвестной величины — процента, массы или концентрации — и решению этого уравнения с последующей проверкой на смысл (проценты не могут быть отрицательными сверх разумного, концентрация не превышает 100%, массы положительны).

Что нужно знать

Для процентных задач достаточно нескольких формул.

Процент от числа: $a\%$ от числа $x$ равен $\dfrac{a}{100}x$.

Увеличение числа $x$ на $p\%$ даёт $x\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$, уменьшение на $p\%$ даёт $x\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.

Если величина меняется несколько раз подряд — сначала на $p\%$, затем на $q\%$ — итоговое значение получается умножением множителей по порядку: $$x\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1\pm\dfrac{q}{100}\right).$$ Знак перед вторым множителем зависит от того, растёт или падает величина на втором шаге.

Важный тонкий момент: если величина сначала выросла на $p\%$, а потом упала на те же $p\%$, результат не равен исходному числу: $$x\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\left(1-\dfrac{p}{100}\right)=x\left(1-\dfrac{p^2}{10000}\right).$$ Итоговое значение всегда меньше исходного (кроме случая $p=0$). Это часто используется в задачах с «ловушкой» — на первый взгляд кажется, что рост и падение компенсируют друг друга, но это не так.

Для сплавов и растворов нужна формула концентрации: $$c=\dfrac{m_{\text{в}}}{m_{\text{р}}}\cdot 100\%,$$ где $m_{\text{в}}$ — масса чистого вещества (соли, кислоты, металла), $m_{\text{р}}$ — масса всего раствора или сплава.

Отсюда масса вещества в растворе массой $m$ с концентрацией $c\%$ равна $m\cdot\dfrac{c}{100}$.

При смешивании раствора массой $m_1$ с концентрацией $c_1\%$ и раствора массой $m_2$ с концентрацией $c_2\%$ получается раствор массой $m_1+m_2$, а масса вещества в нём равна сумме масс вещества до смешивания: $$m_1\cdot\dfrac{c_1}{100}+m_2\cdot\dfrac{c_2}{100}=(m_1+m_2)\cdot\dfrac{c}{100},$$ где $c$ — концентрация итоговой смеси. Отсюда можно выразить любую неизвестную величину — массу, концентрацию или долю.

Если из раствора испаряется вода (или добавляется чистое вещество без примесей), масса вещества не меняется (или меняется ровно на добавленную массу), а масса всего раствора меняется — это нужно отдельно учитывать в уравнении баланса.

Как решать: метод и алгоритм

Шаг 1. Определить базовую величину каждого этапа — от чего берётся процент на каждом шаге. Как правило, это результат предыдущего шага, а не исходное число.

Шаг 2. Ввести переменную для неизвестного (процент роста, масса сплава, концентрация раствора). Если исходное значение величины неизвестно и не влияет на ответ (например, отменяется при делении), его можно обозначить произвольной буквой или взять равным 1 — это не изменит результата.

Шаг 3. Записать выражение для итогового значения величины через последовательные множители вида $\left(1\pm\dfrac{p}{100}\right)$ для процентных задач или через баланс массы вещества для сплавов.

Шаг 4. Составить уравнение, отражающее условие задачи: равенство итогового значения заданному числу, или разность двух значений равна заданному процентному изменению.

Шаг 5. Решить уравнение. Часто оно линейное относительно неизвестного процента, но при симметричных условиях (рост-падение на одну величину) может получиться квадратное уравнение.

Шаг 6. Проверить каждый корень на соответствие смыслу задачи: процент должен быть положительным (или в разумных границах, обычно $0<p<100$), концентрация не превышает 100%, массы неотрицательны. Лишние корни отбрасываются.

Шаг 7. Сформулировать ответ в требуемых единицах и с нужной точностью.

Разбор примера

Пример 1. В 2008 году в квартале проживало $40\,000$ человек. В 2009 году население выросло на $8\%$, а в 2010 году — на $9\%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало в 2010 году?

Шаг 1. Базовая величина для 2009 года — население 2008 года, для 2010 года — население 2009 года (а не 2008-го).

Шаг 2. Найдём население в 2009 году: $$N_{2009}=40\,000\left(1+\dfrac{8}{100}\right)=40\,000\cdot1.08=43\,200.$$

Шаг 3. Найдём население в 2010 году, увеличив $N_{2009}$ на $9\%$: $$N_{2010}=43\,200\left(1+\dfrac{9}{100}\right)=43\,200\cdot1.09.$$

Шаг 4. Вычислим: $43\,200\cdot1.09=43\,200+43\,200\cdot0.09=43\,200+3\,888=47\,088.$

Ответ: 47088 человек.

Обратите внимание: нельзя было складывать проценты ($8\%+9\%=17\%$) и применять их к исходному числу $40\,000$ — это дало бы неверный результат $40\,000\cdot1.17=46\,800$, что отличается от правильного ответа. Проценты применяются последовательно к результату предыдущего шага.

Пример 2. В понедельник акции подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали на $4\%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции в понедельник?

Шаг 1. Обозначим стоимость акции в начале понедельника через $S$ (эта величина сократится и не повлияет на ответ). Пусть $x\%$ — искомый процент роста в понедельник; тот же процент — падение во вторник.

Шаг 2. Стоимость после понедельника: $$S\left(1+\dfrac{x}{100}\right).$$

Шаг 3. Стоимость после вторника (падение на $x\%$ от новой стоимости): $$S\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=S\left(1-\dfrac{x^2}{10000}\right).$$

Шаг 4. По условию итоговая цена на $4\%$ дешевле начальной цены $S$, значит она равна $S\left(1-\dfrac{4}{100}\right)$. Составляем уравнение: $$S\left(1-\dfrac{x^2}{10000}\right)=S\left(1-\dfrac{4}{100}\right).$$

Шаг 5. Сокращаем на $S$ (стоимость акции положительна, поэтому сокращение допустимо): $$1-\dfrac{x^2}{10000}=1-\dfrac{4}{100}.$$

Отсюда $$\dfrac{x^2}{10000}=\dfrac{4}{100}=0.04 \quad\Rightarrow\quad x^2=400 \quad\Rightarrow\quad x=\pm20.$$

Шаг 6. Так как $x$ — процент роста в понедельник, он должен быть положительным, поэтому отбрасываем корень $x=-20$.

Ответ: акции подорожали на 20%.

Этот пример хорошо иллюстрирует общий факт: рост и последующее падение на одинаковый процент никогда не возвращают величину к исходному значению, а всегда уменьшают её — именно поэтому в условии появляется «дешевле на 4%», а не «столько же».

Типичные ошибки

Самая частая ошибка — применение процента не от той базы: складывают проценты разных лет и применяют сумму к исходному числу, вместо того чтобы считать каждый процент от результата предыдущего шага.

Вторая ошибка — путаница со знаком при формулировках «на столько-то процентов дешевле» и «составляет столько-то процентов от». Первое означает вычитание доли от базы, второе — прямое умножение на долю.

Третья ошибка — уверенность, что рост и падение на одинаковый процент компенсируют друг друга. На самом деле итоговое значение всегда меньше исходного из-за члена $\dfrac{x^2}{10000}$.

Четвёртая ошибка — в задачах на сплавы путают массу раствора (сплава) и массу растворённого вещества, забывая, что баланс нужно составлять именно по массе чистого вещества, а не по общей массе смеси.

Пятая ошибка — не проверяют полученные корни уравнения на физический смысл: квадратные уравнения дают два корня, но отрицательный процент или концентрация больше 100% должны быть отброшены.

Шестая ошибка — арифметические промахи при умножении множителей вида $1.08$, $1.09$: полезно раскладывать умножение на сумму ($43\,200\cdot1.09=43\,200+43\,200\cdot0.09$), это снижает риск ошибки.

Седьмая ошибка — забывают перевести проценты в доли (делить на 100), из-за чего уравнение получается с неверными коэффициентами.

На что обратить внимание на экзамене

Внимательно читайте формулировку и определяйте, относительно какой величины считается процент в каждом предложении задачи — часто это разные базы для разных лет или этапов.

Если изменений несколько, записывайте произведение множителей строго по порядку событий, не переставляя их местами (хотя для умножения порядок не важен, важно не забыть ни одного множителя и правильно определить знак каждого).

При неизвестном проценте всегда вводите переменную и решайте уравнение аккуратно, не пытаясь угадать ответ — даже если условие выглядит простым, ошибка в знаке легко приводит к неверному числу.

В задачах на сплавы и растворы всегда составляйте таблицу «было — стало» по массе чистого вещества и отдельно следите за изменением общей массы смеси (если добавляется вода, чистое вещество или что-то испаряется).

Обязательно проверяйте полученный ответ: процент должен быть в разумных пределах, концентрация — от 0 до 100%, массы — положительны. Если уравнение квадратное, не забывайте разбирать оба корня и отбрасывать те, что не подходят по смыслу.

Если в условии есть общий множитель (как исходная стоимость акции или исходная масса раствора), который сокращается при решении, не бойтесь обозначить его произвольной буквой — это упрощает уравнение и не влияет на итоговый ответ в процентах.