Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим массу 30-процентного раствора как $m_1$ кг, а массу 60-процентного раствора как $m_2$ кг.

Первое условие: при смешивании двух растворов и добавлении 10 кг воды получается 36-процентный раствор. Количество чистой кислоты слева равно количеству кислоты в смеси справа: $$0,3m_1 + 0,6m_2 = 0,36(m_1 + m_2 + 10)$$

Второе условие: если вместо воды добавить 10 кг 50-процентного раствора, получится 41-процентный раствор: $$0,3m_1 + 0,6m_2 + 0,5 \cdot 10 = 0,41(m_1 + m_2 + 10)$$

Раскроем скобки в первом уравнении: $$0,3m_1 + 0,6m_2 = 0,36m_1 + 0,36m_2 + 3,6$$ $$0,24m_2 - 0,06m_1 = 3,6$$

Раскроем скобки во втором уравнении: $$0,3m_1 + 0,6m_2 + 5 = 0,41m_1 + 0,41m_2 + 4,1$$ $$0,19m_2 - 0,11m_1 = -0,9$$ $$0,11m_1 - 0,19m_2 = 0,9$$

Умножим первое уравнение на 10, второе на 100: $$4m_2 - m_1 = 60$$ $$11m_1 - 19m_2 = 90$$

Из первого уравнения: $m_1 = 4m_2 - 60$

Подставим во второе: $$11(4m_2 - 60) - 19m_2 = 90$$ $$44m_2 - 660 - 19m_2 = 90$$ $$25m_2 = 750$$ $$m_2 = 30$$

Тогда: $m_1 = 4 \cdot 30 - 60 = 60$