Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Шаг 1: Введём переменную

Обозначим концентрацию первого раствора через $x$ (в долях, где $0 < x < 1$). Тогда концентрация второго раствора равна $x - 0,2$ (так как она на 20 % меньше, то есть на 0,2 в долях).

Шаг 2: Найдём массы растворов

Общая формула связи: $m_{\text{раствора}} = \frac{m_{\text{кислоты}}}{C}$, где $C$ — концентрация в долях.

Масса первого раствора: $\frac{150}{x}$ г

Масса второго раствора: $\frac{60}{x - 0,2}$ г

Шаг 3: Составим уравнение

При смешении растворов их массы складываются:

$$\frac{150}{x} + \frac{60}{x - 0,2} = 400$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю

Умножим обе части на $x(x - 0,2)$:

$$150(x - 0,2) + 60x = 400x(x - 0,2)$$

$$150x - 30 + 60x = 400x^2 - 80x$$

$$210x - 30 = 400x^2 - 80x$$

$$400x^2 - 290x + 30 = 0$$

Делим на 10: $40x^2 - 29x + 3 = 0$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Факторизуем: $40x^2 - 5x - 24x + 3 = 0$

$$5x(8x - 1) - 3(8x - 1) = 0$$

$$(5x - 3)(8x - 1) = 0$$

Отсюда: $x = 0,6$ или $x = 0,125$

Шаг 6: Выберем подходящий корень

По условию концентрация второго раствора равна $x - 0,2 > 0$, поэтому $x > 0,2$.

Условию удовлетворяет только $x = 0,6$.

Шаг 7: Переведём в проценты

$$0,6 \times 100\% = 60\%$$