ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 10Задачи на проценты, сплавы и смеси

Задача 99575. Задачи на проценты, сплавы и смеси

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 102.1.12.5* Задачи на проценты, сплавы и смеси

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: При смешивании двух веществ их общая масса и общее содержание растворённого компонента сохраняются, что позволяет составить систему двух уравнений для нахождения исходных масс.

Обозначим массу первого сплава как m1m_1 кг, второго — как m2m_2 кг.

Шаг 1: Составим уравнение по массе. Поскольку из двух сплавов получен третий, их массы складываются: m1+m2=200m_1 + m_2 = 200

Шаг 2: Составим уравнение по содержанию никеля. Масса никеля в первом сплаве: 0,1m10,1m_1, во втором: 0,3m20,3m_2. В третьем сплаве никеля 0,25⋅200=500,25 \cdot 200 = 50 кг. Масса никеля сохраняется при смешивании: 0,1m1+0,3m2=500,1m_1 + 0,3m_2 = 50

Шаг 3: Решим систему. Из первого уравнения выразим m2=200−m1m_2 = 200 - m_1 и подставим во второе: 0,1m1+0,3(200−m1)=500,1m_1 + 0,3(200 - m_1) = 50 0,1m1+60−0,3m1=500,1m_1 + 60 - 0,3m_1 = 50 −0,2m1=−10-0,2m_1 = -10 m1=50m_1 = 50

Тогда m2=200−50=150m_2 = 200 - 50 = 150 кг.

Шаг 4: Найдём разность. На сколько первый сплав меньше второго: m2−m1=150−50=100 кгm_2 - m_1 = 150 - 50 = 100 \text{ кг}

Типичные ошибки

  • Ошибка в установлении уравнения по никелю: забывают, что процент нужно применить к массе каждого сплава отдельно, а не к итоговому сплаву
  • Арифметическая ошибка при раскрытии скобок или приведении подобных членов, особенно со знаками
  • Неверная интерпретация вопроса: находят сами массы вместо того, чтобы найти их разность

Похожие задачи (другие числа)