ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 10Задачи на проценты, сплавы и смеси

Задача 99566. Задачи на проценты, сплавы и смеси

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 102.1.12.5* Задачи на проценты, сплавы и смеси

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 \% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: Ключ в том, что во вторник процент вычисляется от уже изменённой цены понедельника, а не от исходной, поэтому получается квадратное уравнение относительно темпа изменения.

Обозначим первоначальную стоимость акций за 1 (единицу). Пусть в понедельник акции подорожали на c⋅100%c \cdot 100\%, где cc — десятичная запись процента.

Стоимость после понедельника: цена увеличилась на cc её часть, поэтому новая стоимость равна 1+c⋅1=1+c1 + c \cdot 1 = 1 + c.

Стоимость после вторника: теперь акции подешевели на c⋅100%c \cdot 100\% от текущей цены (1+c)(1 + c). Уменьшение составило c(1+c)c(1 + c), поэтому итоговая стоимость: 1+c−c(1+c)=1+c−c−c2=1−c21 + c - c(1 + c) = 1 + c - c - c^2 = 1 - c^2

Составляем уравнение: по условию акции стали стоить на 4%4\% дешевле исходной цены, то есть 0,960,96 от первоначальной: 1−c2=0,961 - c^2 = 0,96

Решаем: c2=0,04c^2 = 0,04 c=0,2 (берём положительный корень, так как цена подорожала)c = 0,2 \text{ (берём положительный корень, так как цена подорожала)}

Преобразуем в проценты: c=0,2=20%c = 0,2 = 20\%.

Типичные ошибки

  • Забывают, что во вторник скидка применяется к повышенной цене, а не к исходной, и составляют линейное уравнение вида 1+c−c=0,961 + c - c = 0,96
  • Путают знаки: считают, что цена стала 1+c+c(1+c)1 + c + c(1 + c), то есть складывают изменения вместо вычитания
  • Неправильно интерпретируют «на 4% дешевле» и пишут 0,040,04 вместо 0,960,96

Ещё задачи этой подтемы