ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 10Задачи на проценты, сплавы и смеси

Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 102.1.12.5* Задачи на проценты, сплавы и смеси

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: При ежегодном снижении цены на один и тот же процент используется формула сложных процентов: новая цена равна старой цене, умноженной на (1−0,01p)(1 - 0,01p) за каждый год.

Обозначим ежегодный процент снижения цены как pp. Каждый год цена умножается на коэффициент (1−0,01p)(1 - 0,01p), где 0,01p0,01p — это доля от единицы.

Через два года цена будет равна произведению двух таких коэффициентов: 20 000⋅(1−0,01p)2=15 84220\,000 \cdot (1 - 0,01p)^2 = 15\,842

Разделим обе части на 20 000: (1−0,01p)2=15 84220 000=0,7921(1 - 0,01p)^2 = \frac{15\,842}{20\,000} = 0,7921

Это уравнение имеет два корня. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: 1−0,01p=±0,7921=±0,891 - 0,01p = \pm\sqrt{0,7921} = \pm 0,89

Поскольку цена не может увеличиваться (по условию она ежегодно уменьшается), коэффициент (1−0,01p)(1 - 0,01p) должен быть положительным и меньше 1. Отрицательный корень отбрасываем: 1−0,01p=0,891 - 0,01p = 0,89

Решаем уравнение: 0,01p=1−0,89=0,110,01p = 1 - 0,89 = 0,11 p=11p = 11

Проверка: 20 000⋅0,892=20 000⋅0,7921=15 84220\,000 \cdot 0,89^2 = 20\,000 \cdot 0,7921 = 15\,842 ✓

Типичные ошибки

  • Забыли возвести коэффициент в квадрат — применили линейное снижение вместо сложных процентов
  • При извлечении корня взяли оба корня (положительный и отрицательный) и не отбросили отрицательный, который физически невозможен
  • Ошибка в вычислении дроби 15 84220 000\frac{15\,842}{20\,000} или корня из 0,7921
Непонятно?

Похожие задачи