Задачи на движение по воде: разбор задания 10 ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

Задачи на движение по воде — один из самых предсказуемых типов текстовых задач в задании 10 ЕГЭ профильного уровня. В них лодка, катер или теплоход движется по реке или другому водоёму, где есть течение. Особенность таких задач в том, что скорость объекта относительно берега меняется в зависимости от направления движения: течение либо помогает, либо мешает.

Задача почти всегда сводится к одному уравнению (реже — к системе), где неизвестной является либо скорость течения, либо собственная скорость судна, либо время. Формулировки различаются, но логика решения одинаковая: нужно грамотно выразить скорости "по течению" и "против течения", записать время движения через путь и скорость, а затем составить уравнение на основе данного в условии соотношения (разница времени, общее время, среднее время и так далее).

Эта подтема хорошо алгоритмизируется: если один раз разобраться со структурой рассуждений, дальше можно решать похожие задачи почти механически, меняя только числа.

Что нужно знать

Основная идея — принцип сложения скоростей. Пусть $v$ — собственная скорость лодки (скорость в неподвижной воде), а $x$ — скорость течения реки. Тогда:

• скорость лодки по течению реки: $v_{\text{по}} = v + x$;
• скорость лодки против течения реки: $v_{\text{против}} = v - x$.

Это ключевая формула всей подтемы. Течение увеличивает скорость судна, когда судно движется в направлении течения, и уменьшает — когда движется против него.

Обязательное ограничение: скорость течения всегда меньше собственной скорости судна, иначе против течения двигаться невозможно: $$0 < x < v.$$ Это условие часто помогает отбросить один из корней квадратного уравнения, который не подходит по смыслу задачи.

Вторая необходимая формула — связь пути, скорости и времени: $$t = \frac{S}{v_{\text{соотв}}}.$$

В задачах на движение по воде время движения по течению и против течения выражается через одно и то же расстояние $S$, но через разные скорости: $$t_{\text{по}} = \frac{S}{v+x}, \qquad t_{\text{против}} = \frac{S}{v-x}.$$

Третий важный момент — как условие задачи превращается в уравнение. Обычно в тексте есть одно из типовых соотношений:

1. Разница во времени движения "туда" и "обратно" равна заданному числу часов: $$t_{\text{против}} - t_{\text{по}} = \Delta t \quad\text{или}\quad t_{\text{по}} - t_{\text{против}} = \Delta t.$$

2. Общее время движения (туда и обратно) равно заданному числу: $$t_{\text{по}} + t_{\text{против}} = T.$$

3. Дано полное время в пути с учётом стоянки или остановки — тогда время стоянки просто вычитается из общего времени.

Важно всегда чётко определять, какое движение соответствует какой скорости: если лодка идёт против течения, скорость $v - x$, если по течению — $v + x$. Ошибка в этом месте — самая частая причина неверного ответа.

Ещё один технический момент — умение решать квадратные уравнения и работать с дробно-рациональными уравнениями, приводя их к общему знаменателю. Почти все задачи этой подтемы после составления уравнения сводятся именно к квадратному уравнению относительно искомой величины.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задачи на движение по воде удобно представить как последовательность из шести шагов.

Шаг 1. Введение переменной. Определите, что неизвестно: скорость течения, собственная скорость судна или время. Обозначьте эту величину через $x$ (или другую букву). Остальные данные из условия — известные числа.

Шаг 2. Выражение скоростей по течению и против течения. Запишите: $$v_{\text{по}} = v + x, \qquad v_{\text{против}} = v - x,$$ где $v$ — собственная скорость (может быть известной или тоже неизвестной, если в условии сказано «на определённое число км/ч больше/меньше»).

Шаг 3. Выражение времени движения на каждом участке. Если путь $S$ известен, время на каждом участке: $$t_{\text{по}} = \frac{S}{v+x}, \qquad t_{\text{против}} = \frac{S}{v-x}.$$

Шаг 4. Составление уравнения по условию задачи. Найдите в тексте фразу, которая связывает эти времена (или скорости, или расстояния), и переведите её на язык уравнения. Типичные формулировки:

• «затратил на обратный путь на $k$ часов меньше» → $t_{\text{против}} - t_{\text{по}} = k$;
• «затратил на весь путь $T$ часов» → $t_{\text{по}} + t_{\text{против}} = T$;
• «стоял $k$ часов, а всего затратил $T$ часов» → $t_{\text{по}} + t_{\text{против}} = T - k$.

Шаг 5. Решение уравнения. Приведите уравнение к общему знаменателю, избавьтесь от дробей и получите квадратное (или линейное) уравнение. Решите его.

Шаг 6. Проверка по смыслу задачи. Отбросьте посторонние или отрицательные корни. Проверьте условие $0 < x < v$ (скорость течения меньше собственной скорости судна). Убедитесь, что итоговое число соответствует единицам измерения, указанным в вопросе (км/ч, часы и т.д.).

Этот алгоритм универсален — он одинаково работает и когда неизвестна скорость течения, и когда неизвестна собственная скорость судна, и когда неизвестен путь или время. Меняется только то, какую букву мы обозначаем переменной и какое именно из данных условий нужно записать уравнением.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч.

Шаг 1. Неизвестна скорость течения. Обозначим её $x$ км/ч, где $0 < x < 11$.

Шаг 2. Собственная скорость лодки $v = 11$ км/ч. Тогда: $$v_{\text{против}} = 11 - x, \qquad v_{\text{по}} = 11 + x.$$

Шаг 3. Расстояние в обе стороны одинаково: $S = 112$ км. Время движения против течения: $$t_{\text{против}} = \frac{112}{11-x}.$$ Время движения по течению (обратный путь): $$t_{\text{по}} = \frac{112}{11+x}.$$

Шаг 4. По условию обратный путь занял на 6 часов меньше, значит: $$\frac{112}{11-x} - \frac{112}{11+x} = 6.$$

Шаг 5. Приводим к общему знаменателю $(11-x)(11+x) = 121 - x^2$: $$\frac{112(11+x) - 112(11-x)}{121 - x^2} = 6.$$ Числитель: $112(11+x) - 112(11-x) = 112 \cdot 2x = 224x$. Получаем: $$\frac{224x}{121 - x^2} = 6.$$ Умножаем обе части на $(121 - x^2)$: $$224x = 6(121 - x^2) = 726 - 6x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$6x^2 + 224x - 726 = 0.$$ Делим на 2: $$3x^2 + 112x - 363 = 0.$$ Находим дискриминант: $$D = 112^2 + 4 \cdot 3 \cdot 363 = 12544 + 4356 = 16900, \qquad \sqrt{D} = 130.$$ Корни: $$x = \frac{-112 \pm 130}{6}.$$ Первый корень: $x = \dfrac{18}{6} = 3$. Второй корень: $x = \dfrac{-242}{6} \approx -40{,}33$ — отрицательный, не подходит.

Шаг 6. Проверяем: $x = 3$ удовлетворяет условию $0 < x < 11$. Ответ: скорость течения равна 3 км/ч.

Пример 2.

Условие: моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.

Шаг 1. Неизвестна собственная скорость лодки. Обозначим её $x$ км/ч, где $x > 1$.

Шаг 2. Скорость течения $1$ км/ч, поэтому: $$v_{\text{против}} = x - 1, \qquad v_{\text{по}} = x + 1.$$

Шаг 3. Путь в обе стороны $S = 255$ км: $$t_{\text{против}} = \frac{255}{x-1}, \qquad t_{\text{по}} = \frac{255}{x+1}.$$

Шаг 4. Обратный путь занял на 2 часа меньше: $$\frac{255}{x-1} - \frac{255}{x+1} = 2.$$

Шаг 5. Общий знаменатель $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$: $$\frac{255(x+1) - 255(x-1)}{x^2-1} = 2.$$ Числитель: $255(x+1) - 255(x-1) = 255 \cdot 2 = 510$. Получаем: $$\frac{510}{x^2 - 1} = 2.$$ Умножаем обе части на $(x^2-1)$: $$510 = 2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2.$$ Отсюда: $$2x^2 = 512, \qquad x^2 = 256, \qquad x = \pm 16.$$ Отрицательный корень $x = -16$ не подходит по смыслу задачи.

Шаг 6. Проверяем: $x = 16 > 1$, условие выполнено. Ответ: собственная скорость лодки равна 16 км/ч.

Оба примера показывают одинаковую структуру уравнения: разница времён приводит к дробно-рациональному уравнению, которое после умножения на общий знаменатель превращается в квадратное. Разница только в том, какая величина неизвестна.

Типичные ошибки

Перепутаны скорости по течению и против течения. Самая частая ошибка — записать $v - x$ там, где нужно $v + x$, и наоборот. Перед составлением уравнения полезно явно подписать: "против течения — вычитаем скорость течения, по течению — складываем".

Неверный знак в разнице времени. Если в условии сказано "против течения затратил больше времени", то из большего времени вычитается меньшее. Нужно точно понять, какое время больше по смыслу задачи (движение против течения всегда медленнее, значит, время больше), и в этом же порядке записывать разность, чтобы результат совпадал по знаку с условием.

Забыт отбор корней. Квадратное уравнение почти всегда даёт два корня, но только один из них имеет смысл (положительный и удовлетворяющий $0 < x < v$). Пропуск этой проверки — источник неверного ответа даже при правильном уравнении.

Ошибки при приведении дробей к общему знаменателю. При работе с выражениями вида $\dfrac{S}{v-x} - \dfrac{S}{v+x}$ легко ошибиться в раскрытии скобок в числителе. Стоит расписывать это действие отдельно, не в уме.

Путаница между собственной скоростью и скоростью относительно берега. В условии часто говорится и о скорости лодки, и о скорости течения, и вопрос задают именно о той величине, которую легко перепутать с другой. Нужно чётко зафиксировать, что именно является неизвестным $x$, и что дано как константа.

Неправильные единицы измерения ответа. Если спрашивают скорость в км/ч, а получено время в часах (или наоборот из-за путаницы переменных), результат окажется в неверных единицах, хотя число может формально совпасть с ответом.

На что обратить внимание на экзамене

Перед составлением уравнения обязательно выпишите отдельно: путь $S$, собственную скорость $v$ (если известна), скорость течения (если известна) и то, что является искомой величиной. Это экономит время и снижает риск путаницы.

Проверяйте физический смысл ответа: скорость течения не может быть больше или равна собственной скорости судна, время и расстояние не могут быть отрицательными. Если получили два корня квадратного уравнения, оценка знаков и здравый смысл почти всегда сразу отбрасывают один из них.

Следите за формулировкой условия — фразы "на столько-то часов больше" и "на столько-то часов меньше" задают направление разности в уравнении. Ошибка в этом месте не видна сразу, но приводит к неверному знаку и, соответственно, к неверному уравнению.

Если в задаче есть остановка или стоянка судна, не забудьте вычесть время стоянки из общего времени в пути — оставшееся время распределяется именно между движением по течению и против течения.

После получения численного ответа обязательно подставьте его обратно в условие хотя бы приближённо: посчитайте оба времени движения и проверьте, что их разность (или сумма) действительно совпадает с тем, что дано в условии. Это самый надёжный способ поймать арифметическую ошибку до сдачи работы.