Задача 26587. Задачи на движение по воде

Обозначим собственную скорость лодки как $u$ км/ч.

Шаг 1: Определим скорости движения. По течению лодка движется со скоростью $u + 1$ км/ч, против течения — со скоростью $u - 1$ км/ч.

Шаг 2: Найдём общее время в пути. Лодка вышла в 10:00 и вернулась в 18:00 — всего 8 часов. Из них 2,5 часа она пробыла в пункте В. Значит, на плавание затрачено $8 - 2,5 = 5,5$ часов.

Шаг 3: Составим уравнение. Время в пути туда и обратно: $$\frac{30}{u - 1} + \frac{30}{u + 1} = 5,5$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю. $$\frac{30(u + 1) + 30(u - 1)}{(u - 1)(u + 1)} = 5,5$$ $$\frac{30u + 30 + 30u - 30}{u^2 - 1} = 5,5$$ $$\frac{60u}{u^2 - 1} = 5,5$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение. $$60u = 5,5(u^2 - 1)$$ $$60u = 5,5u^2 - 5,5$$ $$5,5u^2 - 60u - 5,5 = 0$$ Умножим на 2: $11u^2 - 120u - 11 = 0$

По формуле корней: $$u = \frac{120 \pm \sqrt{14400 + 484}}{22} = \frac{120 \pm \sqrt{14884}}{22} = \frac{120 \pm 122}{22}$$

Получаем $u = \frac{242}{22} = 11$ или $u = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11}$.

Поскольку скорость положительна, $u = 11$ км/ч.