Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость первого теплохода как $u$ км/ч. Тогда скорость второго теплохода равна $u + 1$ км/ч.

Шаг 1. Составим уравнение на основе условия о времени.

Оба теплохода прошли одно и то же расстояние 420 км, но первый был в пути на 1 час дольше (он отправился на 1 час раньше). Время в пути связано с расстоянием и скоростью формулой $t = \frac{s}{v}$.

Время первого теплохода: $t_1 = \frac{420}{u}$

Время второго теплохода: $t_2 = \frac{420}{u+1}$

Поскольку первый был в пути на 1 час больше: $$\frac{420}{u} - \frac{420}{u+1} = 1$$

Шаг 2. Приведём к общему знаменателю и упростим.

$$\frac{420(u+1) - 420u}{u(u+1)} = 1$$

$$\frac{420u + 420 - 420u}{u(u+1)} = 1$$

$$\frac{420}{u(u+1)} = 1$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение.

$$420 = u(u+1)$$

$$u^2 + u - 420 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения или подбором: $$u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1680}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1681}}{2} = \frac{-1 \pm 41}{2}$$

Получаем $u = 20$ или $u = -21$.

Шаг 4. Выберем положительное решение.

Поскольку скорость не может быть отрицательной, $u = 20$ км/ч.