Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Шаг 1. Найдём скорость плота.

Плот движется по течению без собственной скорости, поэтому его скорость равна скорости течения: $v_{плота} = 2$ км/ч.

Шаг 2. Обозначим неизвестное.

Пусть $u$ — скорость яхты в неподвижной воде (км/ч), где $u > 2$.

• По течению яхта движется со скоростью: $u + 2$ км/ч
• Против течения яхта движется со скоростью: $u - 2$ км/ч

Шаг 3. Используем условие про время плота.

Плот прошёл 24 км со скоростью 2 км/ч. Время плота: $t_{плота} = \frac{24}{2} = 12$ часов.

Яхта стартовала на 1 час позже, поэтому яхта была в пути: $12 - 1 = 11$ часов.

Шаг 4. Составим уравнение для яхты.

Яхта прошла из A в B (120 км по течению) и обратно из B в A (120 км против течения):

$$\frac{120}{u+2} + \frac{120}{u-2} = 11$$

Шаг 5. Приведём к единому знаменателю.

$$\frac{120(u-2) + 120(u+2)}{(u+2)(u-2)} = 11$$

$$\frac{120u - 240 + 120u + 240}{u^2 - 4} = 11$$

$$\frac{240u}{u^2 - 4} = 11$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение.

$$240u = 11(u^2 - 4)$$

$$240u = 11u^2 - 44$$

$$11u^2 - 240u - 44 = 0$$

По формуле корней: $$u = \frac{240 \pm \sqrt{240^2 + 4 \cdot 11 \cdot 44}}{2 \cdot 11} = \frac{240 \pm \sqrt{57600 + 1936}}{22} = \frac{240 \pm \sqrt{59536}}{22} = \frac{240 \pm 244}{22}$$

$$u_1 = \frac{240 + 244}{22} = \frac{484}{22} = 22; \quad u_2 = \frac{240 - 244}{22} = -\frac{2}{11}$$

Поскольку $u > 2$, принимаем $u = 22$ км/ч.