Задача 26589. Задачи на движение по воде

Обозначим собственную скорость теплохода через $u$ км/ч.

Шаг 1. Определим скорости в обе стороны. По течению теплоход движется со скоростью $u + 1$ км/ч, против течения — со скоростью $u - 1$ км/ч. Это потому, что течение добавляет скорость туда и вычитает её обратно.

Шаг 2. Вычислим время в пути. Общее время 34 часа включает стоянку 2 часа. На движение остаётся $34 - 2 = 32$ часа.

Шаг 3. Составим уравнение по формуле $t = \frac{s}{v}$. Время туда: $\frac{255}{u+1}$ часов. Время обратно: $\frac{255}{u-1}$ часов. Всего: $$\frac{255}{u+1} + \frac{255}{u-1} = 32$$

Шаг 4. Приведём к общему знаменателю. $$\frac{255(u-1) + 255(u+1)}{(u+1)(u-1)} = 32$$ $$\frac{255u - 255 + 255u + 255}{u^2-1} = 32$$ $$\frac{510u}{u^2-1} = 32$$

Шаг 5. Решим квадратное уравнение. $$510u = 32(u^2-1)$$ $$510u = 32u^2 - 32$$ $$32u^2 - 510u - 32 = 0$$ Делим на 2: $$16u^2 - 255u - 16 = 0$$

По формуле корней: $u = \frac{255 \pm \sqrt{255^2 + 4 \cdot 16 \cdot 16}}{32} = \frac{255 \pm \sqrt{65025 + 1024}}{32} = \frac{255 \pm \sqrt{66049}}{32} = \frac{255 \pm 257}{32}$

Шаг 6. Найдём оба корня. $u_1 = \frac{255 + 257}{32} = \frac{512}{32} = 16$ км/ч $u_2 = \frac{255 - 257}{32} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16}$ (отрицательный, не подходит)

Ответ: $u = 16$ км/ч.