Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость течения как $u$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составляет $15 + u$ км/ч, а против течения — $15 - u$ км/ч.

Общее время в пути составило $40 - 10 = 30$ часов (вычитаем время стоянки).

По течению теплоход прошёл 200 км, затратив время $\frac{200}{15+u}$ часов. Против течения он прошёл те же 200 км за $\frac{200}{15-u}$ часов.

Составим уравнение для общего времени движения: $$\frac{200}{15-u} + \frac{200}{15+u} = 30$$

Приведём к общему знаменателю $(15-u)(15+u) = 225 - u^2$: $$\frac{200(15+u) + 200(15-u)}{225-u^2} = 30$$

В числителе раскроем скобки: $$200 \cdot 15 + 200u + 200 \cdot 15 - 200u = 6000$$

Получаем: $$\frac{6000}{225-u^2} = 30$$

Умножим обе части на $(225-u^2)$: $$6000 = 30(225-u^2)$$ $$6000 = 6750 - 30u^2$$ $$30u^2 = 750$$ $$u^2 = 25$$ $$u = \pm 5$$

Поскольку скорость течения положительна и меньше скорости теплохода, $u = 5$ км/ч.