Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость течения через $u$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению составит $11 + u$ км/ч, против течения — $11 - u$ км/ч.

Время в пути против течения: $t_1 = \frac{112}{11 - u}$ часов.

Время в пути по течению (обратный путь): $t_2 = \frac{112}{11 + u}$ часов.

По условию обратный путь занял на 6 часов меньше: $$\frac{112}{11 - u} - \frac{112}{11 + u} = 6$$

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{112(11 + u) - 112(11 - u)}{(11 - u)(11 + u)} = 6$$

Числитель: $112 \cdot 11 + 112u - 112 \cdot 11 + 112u = 224u$

Знаменатель: $(11 - u)(11 + u) = 121 - u^2$

$$\frac{224u}{121 - u^2} = 6$$

Умножим обе части на $(121 - u^2)$: $$224u = 6(121 - u^2)$$ $$224u = 726 - 6u^2$$ $$6u^2 + 224u - 726 = 0$$

Делим на 2: $$3u^2 + 112u - 363 = 0$$

Применим формулу корней квадратного уравнения: $$u = \frac{-112 \pm \sqrt{112^2 + 4 \cdot 3 \cdot 363}}{2 \cdot 3} = \frac{-112 \pm \sqrt{12544 + 4356}}{6} = \frac{-112 \pm \sqrt{16900}}{6} = \frac{-112 \pm 130}{6}$$

$u_1 = \frac{-112 + 130}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$u_2 = \frac{-112 - 130}{6} = \frac{-242}{6} < 0$ — отрицательное значение отбрасываем.

Ответ: скорость течения равна 3 км/ч.