Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как $u$ км/ч.

Шаг 1. Выражаем скорости.

• Скорость против течения: $u - 1$ км/ч (течение замедляет лодку)
• Скорость по течению: $u + 1$ км/ч (течение ускоряет лодку)

Шаг 2. Записываем время в пути. Для одного участка расстояние одинаково (255 км), поэтому используем $t = \frac{s}{v}$:

• Время против течения: $t_1 = \frac{255}{u-1}$ ч
• Время по течению: $t_2 = \frac{255}{u+1}$ ч

Шаг 3. Составляем уравнение. По условию обратный путь (по течению) занял на 2 часа меньше: $$\frac{255}{u-1} - \frac{255}{u+1} = 2$$

Шаг 4. Приводим к общему знаменателю. $$\frac{255(u+1) - 255(u-1)}{(u-1)(u+1)} = 2$$

$$\frac{255u + 255 - 255u + 255}{u^2-1} = 2$$

$$\frac{510}{u^2-1} = 2$$

Шаг 5. Решаем уравнение. $$510 = 2(u^2 - 1)$$ $$510 = 2u^2 - 2$$ $$512 = 2u^2$$ $$u^2 = 256$$ $$u = 16 \text{ или } u = -16$$

Шаг 6. Выбираем положительный корень. Так как скорость не может быть отрицательной, $u = 16$ км/ч.