Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость второго теплохода как $u$ км/ч. Тогда скорость первого теплохода равна $u - 1$ км/ч (на 1 км/ч меньше).

Составляем уравнение на основе времени в пути:

Время в пути первого теплохода: $\frac{110}{u-1}$ часов.

Время в пути второго теплохода: $\frac{110}{u}$ часов.

Поскольку первый вышел на 1 час раньше, он был в пути на 1 час дольше: $$\frac{110}{u-1} - \frac{110}{u} = 1$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{110u - 110(u-1)}{u(u-1)} = 1$$

$$\frac{110u - 110u + 110}{u(u-1)} = 1$$

$$\frac{110}{u(u-1)} = 1$$

Умножаем обе части на знаменатель: $$110 = u(u-1)$$

$$u^2 - u - 110 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение:

Найдём корни: нужны два числа, произведение которых равно $-110$, а сумма равна $1$.

Это числа $11$ и $-10$: $$(u - 11)(u + 10) = 0$$

Отсюда $u = 11$ или $u = -10$.

Поскольку скорость должна быть положительной, $u = 11$ км/ч.