Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим скорость старого катера как $u$ км/ч. Тогда скорость нового катера равна $u + 15$ км/ч.

Время в пути старого катера: $t_1 = \frac{40}{u}$ часов.

Время в пути нового катера: $t_2 = \frac{40}{u + 15}$ часов.

По условию новый катер экономит 36 минут, то есть $\frac{36}{60} = 0,6$ часа. Составим уравнение: $$\frac{40}{u} - \frac{40}{u + 15} = 0,6$$

Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{40(u + 15) - 40u}{u(u + 15)} = 0,6$$

$$\frac{40u + 600 - 40u}{u(u + 15)} = 0,6$$

$$\frac{600}{u(u + 15)} = 0,6$$

Умножим обе части на $u(u + 15)$: $$600 = 0,6u(u + 15)$$

Разделим на 0,6: $$1000 = u(u + 15)$$

$$u^2 + 15u - 1000 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения: $$u = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 4000}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{-15 \pm 65}{2}$$

Получаем $u = \frac{50}{2} = 25$ или $u = \frac{-80}{2} = -40$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной, $u = 25$ км/ч.