Задача 500253. Задачи на движение по воде

Обозначим собственную скорость катера как $x$ км/ч, а скорость течения весной как $y$ км/ч. Летом течение становится медленнее на 1 км/ч, значит летом оно равно $(y - 1)$ км/ч.

Составим уравнения на основе отношений скоростей.

Весной: скорость по течению $x + y$, скорость против течения $x - y$. По условию катер идёт против течения в $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ раза медленнее, поэтому: $$\frac{x + y}{x - y} = \frac{5}{3}$$

Летом: скорость по течению $x + (y - 1) = x + y - 1$, скорость против течения $x - (y - 1) = x - y + 1$. По условию катер идёт против течения в $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ раза медленнее: $$\frac{x + y - 1}{x - y + 1} = \frac{3}{2}$$

Решим систему.

Из первого уравнения: $3(x + y) = 5(x - y)$, откуда $3x + 3y = 5x - 5y$, то есть $8y = 2x$ или $x = 4y$.

Из второго уравнения: $2(x + y - 1) = 3(x - y + 1)$, откуда $2x + 2y - 2 = 3x - 3y + 3$, то есть $5y - x = 5$.

Подставим $x = 4y$ во второе упрощённое уравнение: $$5y - 4y = 5 \implies y = 5$$

Проверка: $x = 20$, весной по течению 25 км/ч, против течения 15 км/ч (отношение $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$ ✓). Летом по течению 24 км/ч, против течения 16 км/ч (отношение $\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ ✓).