Задачи на прогрессии в задании 10 ЕГЭ: теория и разбор

О чём эта подтема

Задание 10 ЕГЭ по математике — это текстовая задача, где нужно перевести условие на язык уравнений и найти конкретное число: количество дней, объём работы, размер выплаты и так далее. Одна из самых частых разновидностей таких задач — задачи на прогрессии, чаще всего арифметические, реже геометрические.

Сюжеты типовые: бригада красит забор, увеличивая норму каждый день на одно и то же число метров; рабочие прокладывают тоннель, наращивая темп; вкладчик получает проценты; сотрудник получает зарплату с ежегодной надбавкой. За разными формулировками скрывается одна и та же математическая модель — последовательность чисел, где либо разность между соседними членами постоянна (арифметическая прогрессия), либо отношение соседних членов постоянно (геометрическая прогрессия).

Цель гайда — научиться быстро узнавать прогрессию в тексте задачи, правильно расставлять данные по формулам и получать числовой ответ без вычислительных ошибок.

Что нужно знать

Для решения таких задач достаточно твёрдо знать формулы арифметической прогрессии и уметь их комбинировать.

Арифметическая прогрессия. Последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ называется арифметической, если каждый следующий член получается из предыдущего добавлением одного и того же числа $d$ — разности прогрессии: $$a_{n+1} = a_n + d.$$

Формула $n$-го члена: $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

Сумма первых $n$ членов — ключевая формула для таких задач, потому что «объём выполненной работы за $n$ дней» — это именно сумма прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n,$$ или, если $a_n$ неизвестно, но известна разность: $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n.$$

Важное следствие первой формулы: сумма первого и последнего членов, умноженная на количество членов и делённая на 2, даёт сумму всей прогрессии. Это свойство часто напрямую используется в задачах: «за первый и последний день суммарно сделали столько-то» — значит, известна величина $a_1+a_n$, и её достаточно подставить в формулу суммы.

Свойство равноудалённых членов. Если $k$ членов равноудалены от концов прогрессии, сумма каждой такой пары одинакова: $$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3+a_{n-2} = \dots$$ Это иногда упрощает вычисления, если в условии фигурируют не крайние, а средние члены.

Геометрическая прогрессия встречается в этом задании реже, но знать формулы стоит. Последовательность $b_1, b_2, \dots$ геометрическая, если $$b_{n+1} = b_n \cdot q,$$ формула $n$-го члена: $$b_n = b_1 q^{n-1},$$ сумма первых $n$ членов при $q\neq 1$: $$S_n = b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}.$$

В задачах на проценты (вклады, кредиты с ежегодным начислением) $q = 1+\dfrac{p}{100}$, где $p$ — процент прироста.

Основная сложность подтемы не в формулах, а в переводе текста на язык прогрессии: нужно правильно понять, что означает $a_1$, что означает $n$, и что дано в условии — сумма, отдельный член или разность.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на арифметическую прогрессию почти всегда одинаков.

Шаг 1. Распознать прогрессию. Ключевые фразы: «увеличивая на одно и то же число», «ежедневно на столько-то больше», «каждый месяц на фиксированную сумму больше» — это сигнал арифметической прогрессии. Фразы «увеличивая в одно и то же число раз», «на определённый процент каждый раз» — сигнал геометрической.

Шаг 2. Ввести обозначения. Обычно $a_1$ — объём работы (или показатель) в первый день, $d$ — прирост за один день, $n$ — искомое или данное число дней (членов прогрессии), $a_n$ — объём в последний день, $S_n$ — суммарный объём всей работы (общая длина забора, тоннеля и т.п.).

Шаг 3. Выписать данные из условия в терминах этих обозначений. Обычно даны две-три величины из набора $\{a_1, a_n, d, n, S_n\}$, а найти нужно ещё одну.

Шаг 4. Подобрать формулу, которая связывает данные величины с искомой без лишних неизвестных. Чаще всего это формула суммы $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$ потому что в условии почти всегда фигурирует общий объём работы ($S_n$) и либо сумма первого и последнего членов, либо один из них плюс разность.

Шаг 5. Решить полученное уравнение (иногда систему из двух уравнений, если неизвестных больше одной) и проверить, что ответ имеет смысл — число дней должно быть натуральным, метры — положительными.

Шаг 6. Проверить логику ответа. Если по смыслу задачи прирост должен быть небольшим числом, а получилось нецелое или отрицательное значение — где-то ошибка в переводе условия.

Главный практический совет: не пытайтесь сразу искать $d$, если задача не требует этого явно. Очень часто достаточно формулы суммы через $a_1+a_n$ — она обходит разность стороной и даёт короткое решение в одно-два действия.

Разбор примера

Пример 1. Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Шаг 1. Фраза «увеличивая... на одно и то же число метров» указывает на арифметическую прогрессию: $a_1, a_2, \dots, a_n$ — объёмы покраски по дням, $d$ — ежедневный прирост.

Шаг 2. Обозначим: $a_1$ — покрашено в первый день, $a_n$ — покрашено в последний ($n$-й) день, $n$ — искомое число дней. Общий объём — сумма прогрессии: $$S_n = a_1+a_2+\dots+a_n = 240.$$

Шаг 3. Из условия: сумма первого и последнего дня равна 60: $$a_1 + a_n = 60.$$

Шаг 4. Применяем формулу суммы через первый и последний член — она напрямую содержит величину $a_1+a_n$, которая нам известна: $$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$$ Подставляем известные значения: $$240 = \frac{60}{2}\cdot n.$$

Шаг 5. Считаем: $$240 = 30n \quad\Rightarrow\quad n = \frac{240}{30} = 8.$$

Шаг 6. Проверка: $n=8$ — натуральное число, ответ разумен для бытовой ситуации с покраской забора. Разность $d$ при этом даже не потребовалась.

Ответ: 8 дней.

Пример 2. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

Шаг 1. Снова арифметическая прогрессия: ежедневные объёмы прокладки $a_1, a_2, \dots, a_{10}$, разность $d$ постоянна.

Шаг 2. Дано: $a_1 = 3$ (метров за первый день), $n = 10$ (число дней), $S_n = 500$ (общая длина тоннеля). Найти нужно $a_{10}$ — объём в последний, десятый день.

Шаг 3. Записываем формулу суммы через первый и последний члены: $$S_{10} = \frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10.$$

Шаг 4. Подставляем известные числа: $$500 = \frac{3+a_{10}}{2}\cdot 10.$$

Шаг 5. Упрощаем и решаем уравнение относительно $a_{10}$: $$500 = 5\,(3+a_{10}),$$ $$100 = 3 + a_{10},$$ $$a_{10} = 97.$$

Шаг 6. Проверка на смысл: за 10 дней объём вырос с 3 до 97 метров в день, суммарно давая 500 метров — величина увеличивается монотонно, число натуральное, ответ правдоподобен для инженерной задачи такого типа. Разность прогрессии здесь тоже не потребовалась: $d = \dfrac{a_{10}-a_1}{9} = \dfrac{94}{9}$ — она не целая, но это не мешает, так как вопрос не про неё, а условие не требует целочисленности $d$.

Ответ: 97 метров.

Оба примера показывают главный приём подтемы: если в задаче есть сумма всей работы $S_n$ и хотя бы одна из пар $\{a_1+a_n\}$ или $\{a_1, a_n\}$ с известным $n$, задача решается формулой суммы за одно уравнение, без явного нахождения разности $d$.

Типичные ошибки

Путаница между $S_n$ и $a_n$. Часто ученики принимают общий объём работы (длину забора, тоннеля) за значение последнего члена прогрессии, хотя это сумма всех членов. Нужно чётко разграничивать: $a_n$ — это то, что сделано именно в конкретный, последний день, а $S_n$ — суммарно за все дни.

Неверный подсчёт числа членов. Если прогрессия описывает дни с 1-го по $n$-й, число членов равно $n$, а не $n-1$ или $n+1$. Ошибка на единицу особенно вероятна, если в условии упоминаются «первые несколько дней» или «оставшиеся дни» — тут легко сбиться при определении границ прогрессии.

Попытка искать $d$, когда это не нужно. Составление системы из двух уравнений с $a_1$ и $d$ вместо использования короткой формулы через $a_1+a_n$ увеличивает объём вычислений и риск арифметической ошибки. Если задача даёт сумму первого и последнего членов явно (как в примере 1), формулу $a_n=a_1+(n-1)d$ можно вообще не привлекать.

Неправильный перевод словесного условия. Фразы вроде «на один и тот же процент» указывают на геометрическую прогрессию, а не арифметическую — их легко спутать с «на одно и то же число», если читать условие бегло. Ошибка в выборе типа прогрессии сразу ведёт к неверной модели и неверному ответу.

Арифметические ошибки при делении. Формула суммы содержит деление на 2, и при подстановке чисел легко ошибиться в порядке действий, особенно если сумма и число членов не делятся друг на друга «красиво». Стоит все преобразования выполнять по шагам, не сокращая в уме сразу несколько операций.

Игнорирование проверки правдоподобия ответа. Если по смыслу задачи объём работы должен возрастать, а полученное значение $a_n$ меньше $a_1$ или число дней получилось нецелым — это сигнал, что где-то допущена ошибка в уравнении или знаке.

На что обратить внимание на экзамене

При чтении условия сразу выделяйте на черновике пять величин: $a_1$, $a_n$ (или $d$), $n$, $S_n$ — и отмечайте, какие из них даны явно, а какая является вопросом задачи. Такая таблица из четырёх-пяти строк экономит время и снижает риск путаницы между суммой и отдельным членом.

Обращайте внимание на слова «в сумме», «суммарно», «всего» — они почти всегда указывают на то, что речь о $S_n$, а не об отдельном члене прогрессии. Слова «в первый день», «в последний день», «в $k$-й день» указывают на конкретный член $a_k$.

Если задача даёт сумму первого и последнего членов напрямую, всегда пробуйте сначала формулу $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ — в большинстве вариантов ЕГЭ это самый короткий путь к ответу и не требует нахождения разности прогрессии.

Проверяйте единицы измерения и соответствие ответа смыслу вопроса: если спрашивают про метры за последний день, ответом должно быть значение $a_n$, а не $S_n$ или $d$. Ошибка «на последнем шаге», когда вычисления верны, но выписан ответ не той величины, встречается на экзамене чаще, чем кажется.

Наконец, после получения числового ответа обязательно сделайте обратную подстановку хотя бы в одну из исходных формул — это займёт полминуты, но исключает почти все ошибки вычисления и неправильной интерпретации условия.