Задача 99585. Задачи на прогрессии

Количество открыток, которые Вера подписывает ежедневно, образует арифметическую прогрессию. Обозначим первый член $a_1 = 10$ (открыток в первый день) и разность прогрессии $d$ (количество дополнительных открыток каждый день).

Шаг 1: Используем формулу суммы арифметической прогрессии.

Общее количество подписанных открыток за 16 дней: $$S_{16} = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

Подставляем известные значения: $S_{16} = 640$, $a_1 = 10$, $n = 16$: $$640 = \frac{2 \cdot 10 + d \cdot 15}{2} \cdot 16$$

Шаг 2: Решаем уравнение для нахождения разности прогрессии.

Упростим: $$640 = \frac{20 + 15d}{2} \cdot 16 = (20 + 15d) \cdot 8$$ $$80 = 20 + 15d$$ $$60 = 15d$$ $$d = 4$$

Каждый день Вера подписывает на 4 открытки больше, чем в предыдущий.

Шаг 3: Находим количество открыток в четвёртый день.

Используем формулу общего члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$

$$a_4 = 10 + 3 \cdot 4 = 10 + 12 = 22$$