Задача 99581. Задачи на прогрессии

Задача на арифметическую прогрессию. Ежедневное увеличение числа решённых задач на одну и ту же величину — это основной признак.

Дано:

• Первый день: $a_1 = 5$ задач
• Количество дней: $n = 14$
• Общее количество задач: $S_{14} = 434$

Нужно найти: $a_{14}$ (количество задач в последний день)

Решение:

Для арифметической прогрессии сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Эта формула очень удобна здесь, потому что мы как раз знаем сумму, первый член и количество дней, а искомый элемент — это последний (четырнадцатый) член прогрессии.

Подставляем наши значения: $$S_{14} = \frac{5 + a_{14}}{2} \cdot 14$$

$$434 = \frac{5 + a_{14}}{2} \cdot 14$$

Упростим, разделив обе части на 14: $$31 = \frac{5 + a_{14}}{2}$$

Умножим обе части на 2: $$62 = 5 + a_{14}$$

$$a_{14} = 57$$

Проверка: Сумма $\frac{5 + 57}{2} \cdot 14 = \frac{62}{2} \cdot 14 = 31 \cdot 14 = 434$ ✓