Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим длину тоннеля, проложенного в день $i$, как $a_i$. Дано: $a_1 = 3$ метра, норма растёт равномерно на одно и то же число метров каждый день, работа длится $n = 10$ дней, общая длина $S_{10} = 500$ метров.

Поскольку ежедневно норма увеличивается на одно и то же число метров, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d$ (неизвестной).

Для арифметической прогрессии сумма первых $n$ членов выражается формулой: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Подставляем известные значения: $$500 = \frac{3 + a_{10}}{2} \cdot 10$$

Упрощаем: $$500 = (3 + a_{10}) \cdot 5$$

$$100 = 3 + a_{10}$$

$$a_{10} = 97$$

Проверка: если $a_1 = 3$ и $a_{10} = 97$, то $S_{10} = \frac{3 + 97}{2} \cdot 10 = \frac{100}{2} \cdot 10 = 50 \cdot 10 = 500$ ✓