ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 10Задачи на прогрессии

Задача 99587. Задачи на прогрессии

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 102.1.12.6* Задачи на прогрессии

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

В подтеме 9 задач
Разбор
Главная идея: Когда прибыль выражена в процентах от предыдущего капитала и не изымается, капитал растёт по геометрической прогрессии с множителем (1 + процент/100), где количество членов равно числу прошедших периодов.

Компания «Альфа»:

Если прибыль составляет 200% от капитала предыдущего года, это означает, что капитал увеличивается на 200%, то есть становится 100% + 200% = 300% от предыдущего значения, или в 3 раза больше.

Компания начала в 2001 году с суммой 5000 долларов. К концу 2006 года прошло 2006−2001=52006 - 2001 = 5 лет, в течение которых капитал умножался на 3 каждый год.

Капитал «Альфа» к концу 2006 года: 5000⋅35=5000⋅243=1 215 000 долларов5000 \cdot 3^5 = 5000 \cdot 243 = 1\,215\,000 \text{ долларов}

Компания «Бета»:

Если прибыль составляет 400% от капитала предыдущего года, то капитал становится 100% + 400% = 500% от предыдущего, или в 5 раз больше.

Компания начала в 2003 году с суммой 10 000 долларов. К концу 2006 года прошло 2006−2003=32006 - 2003 = 3 года с ежегодным умножением на 5.

Капитал «Бета» к концу 2006 года: 10 000⋅53=10 000⋅125=1 250 000 долларов10\,000 \cdot 5^3 = 10\,000 \cdot 125 = 1\,250\,000 \text{ долларов}

Сравнение:

Разница в капиталах: 1 250 000−1 215 000=35 000 долларов1\,250\,000 - 1\,215\,000 = 35\,000 \text{ долларов}

Капитал компании «Бета» был больше на 35 000 долларов.

Типичные ошибки

  • Ошибка в интерпретации процентов: неправильно считать, что 200% прибыли означает умножение на 2 вместо на 3
  • Неверный подсчёт количества лет: забыть, что если компания начала в 2001 году, то к концу 2006 года прошло именно 5 лет
  • Перепутать начальный год каждой компании и неправильно вычислить количество лет экспоненциального роста для каждой из них

Ещё задачи этой подтемы