Задачи на совместную работу в задании 10 ЕГЭ профиль: методы и примеры

О чём эта подтема

Задачи на совместную работу — один из самых предсказуемых типов текстовых задач в задании 10 профильного ЕГЭ. Их фабула почти всегда одна и та же: есть некий объём работы (изготовить партию деталей, покрасить забор, наполнить бассейн, набрать текст), и известно, как соотносятся скорости или время работы двух (иногда трёх) исполнителей. Нужно найти конкретную числовую характеристику — производительность, время или объём.

Особенность этой подтемы в том, что за разными сюжетами скрывается одна и та же математическая модель: связь между объёмом работы, производительностью (скоростью) и временем. Если один раз разобраться в этой модели и научиться грамотно вводить переменную, любая задача такого типа решается по одному алгоритму, а разница лишь в деталях условия.

В рамках ЕГЭ встречаются два похожих, но не идентичных подвида: задачи с абстрактным «объёмом работы, равным 1» (бассейн, труба, стена) и задачи с конкретным числом единиц продукции (детали, изделия, страницы). Второй подвид — именно тот, что рассмотрен ниже в примерах, — часто оказывается даже проще, потому что производительность в нём измеряется натуральными числами (штук в час), и ответ получается «красивым».

Что нужно знать

Для решения задач на совместную работу достаточно нескольких базовых соотношений.

Основная формула. Если $A$ — объём выполненной работы, $v$ — производительность (скорость работы), $t$ — время, то $$A = v \cdot t, \qquad v = \frac{A}{t}, \qquad t = \frac{A}{v}.$$

Работа с целым объёмом (детали, изделия). Если заказ состоит из $N$ деталей, а производительность рабочего $x$ деталей в час, то время выполнения всего заказа равно $$t = \frac{N}{x}.$$ Это ключевая формула для задач вроде приведённых ниже примеров.

Совместная работа (объём принят за 1). Если первый исполнитель выполняет работу за $t_1$, а второй — за $t_2$, то их производительности равны $\dfrac{1}{t_1}$ и $\dfrac{1}{t_2}$ (доля работы за единицу времени). При совместной работе производительности складываются: $$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t},$$ где $t$ — время совместного выполнения всей работы.

Связь «на сколько быстрее/медленнее» и «на сколько больше/меньше». Такие фразы переводятся в уравнения напрямую:

• «первый выполняет заказ на 1 час быстрее второго» $\Rightarrow t_2 - t_1 = 1$;
• «первый производит на 1 деталь в час больше второго» $\Rightarrow x_1 = x_2 + 1$.

Тип уравнения. После подстановки времени через объём и производительность ($t = N/x$) уравнение с разностью времён приводится к квадратному относительно введённой переменной. Нужно уверенно решать квадратные уравнения и отбирать корни по смыслу задачи (время и производительность — положительные числа, часто ожидается натуральный ответ).

ОДЗ. Производительность и время не могут быть равны нулю или отрицательны — это обязательное условие при отборе корней.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач на совместную работу с целым объёмом продукции:

1. Определить объём работы $N$ (число деталей, изделий и т. п.) — оно обычно дано явно.
2. Ввести переменную — производительность того исполнителя, про которого известно меньше, или того, через кого удобнее выразить второго. Часто удобно обозначить $x$ производительность более «медленного» исполнителя.
3. Выразить производительность второго через первого, используя фразу вида «на $k$ деталей больше/меньше»: $x_1 = x + k$ или $x_1 = x - k$.
4. Выразить время каждого через объём и производительность: $t = \dfrac{N}{x}$.
5. Составить уравнение по условию о времени (разность времён равна заданному числу часов, или сумма, или что время одного в несколько раз больше другого).
6. Привести уравнение к общему знаменателю и получить квадратное уравнение относительно $x$.
7. Решить уравнение, найти оба корня.
8. Отобрать подходящий корень: производительность должна быть положительной (обычно и целой, так как речь о штуках в час).
9. Ответить на вопрос задачи — внимательно проверить, что именно спрашивают: производительность конкретного рабочего, время, число деталей за смену и т. д. Часто искомая величина не совпадает с введённой переменной, и нужен ещё один шаг вычисления.

Для задач с объёмом «равным 1» (бассейны, трубы) схема похожая, но переменной обычно становится время одного из исполнителей, а уравнение строится через сложение производительностей $\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{t}$.

Разбор примера

Пример 1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?

Шаг 1. Объём работы. $N = 110$ деталей — это одна и та же партия для обоих рабочих.

Шаг 2. Переменная. Обозначим производительность второго рабочего через $x$ (деталей в час) — именно её и требуется найти в конце.

Шаг 3. Производительность первого. По условию первый делает на 1 деталь в час больше второго: $$x_1 = x + 1.$$

Шаг 4. Время каждого. Время выполнения заказа — это объём, делённый на производительность: $$t_2 = \frac{110}{x}, \qquad t_1 = \frac{110}{x+1}.$$

Шаг 5. Уравнение. Первый выполняет заказ на 1 час быстрее второго, значит $$t_2 - t_1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{110}{x} - \frac{110}{x+1} = 1.$$

Шаг 6. Приведение к общему знаменателю. Умножим обе части на $x(x+1)$ (это допустимо, так как $x>0$): $$110(x+1) - 110x = x(x+1).$$ Раскрываем скобки слева: $$110x + 110 - 110x = x^2 + x,$$ $$110 = x^2 + x.$$ Получаем квадратное уравнение: $$x^2 + x - 110 = 0.$$

Шаг 7. Решение уравнения. Дискриминант: $$D = 1^2 - 4\cdot 1\cdot(-110) = 1 + 440 = 441 = 21^2.$$ Корни: $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 21}{2}.$$ Отсюда $x_1 = 10$, $x_2 = -11$.

Шаг 8. Отбор корня. Производительность не может быть отрицательной, поэтому $x = -11$ отбрасываем. Остаётся $x = 10$.

Шаг 9. Ответ на вопрос задачи. Спрашивалось, сколько деталей в час делает второй рабочий — это и есть введённая переменная $x$.

Ответ: 10 деталей в час.

Проверка: второй делает 10 деталей/час, время $t_2 = 110/10 = 11$ часов. Первый делает $10+1=11$ деталей/час, время $t_1 = 110/11 = 10$ часов. Разница времён $11-10=1$ час — совпадает с условием. Всё верно.

Пример 2. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго?

Задача устроена так же, как первая, но вопрос — про первого рабочего, а не про второго, что важно не упустить.

Шаг 1. Объём работы. $N = 156$ деталей.

Шаг 2. Переменная. Снова удобно обозначить производительность второго рабочего через $x$ (деталей в час), а искомую величину — производительность первого — выразим через $x$ и найдём в конце.

Шаг 3. Производительность первого. Первый делает на 1 деталь в час больше: $$x_1 = x + 1.$$

Шаг 4. Время каждого. $$t_2 = \frac{156}{x}, \qquad t_1 = \frac{156}{x+1}.$$

Шаг 5. Уравнение. Первый на 1 час быстрее второго: $$\frac{156}{x} - \frac{156}{x+1} = 1.$$

Шаг 6. Приведение к общему знаменателю. Умножаем на $x(x+1)$: $$156(x+1) - 156x = x(x+1),$$ $$156 = x^2 + x,$$ $$x^2 + x - 156 = 0.$$

Шаг 7. Решение уравнения. Дискриминант: $$D = 1 + 4\cdot 156 = 1 + 624 = 625 = 25^2.$$ Корни: $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 25}{2}.$$ Отсюда $x_1 = 12$, $x_2 = -13$.

Шаг 8. Отбор корня. Отрицательное значение не подходит, берём $x = 12$.

Шаг 9. Ответ на вопрос задачи. Вопрос про первого рабочего, а не про второго! Производительность первого: $$x_1 = x + 1 = 12 + 1 = 13.$$

Ответ: 13 деталей в час.

Проверка: второй делает 12 деталей/час, время $156/12=13$ часов. Первый делает 13 деталей/час, время $156/13=12$ часов. Разница времён $13-12=1$ час — соответствует условию.

Эти два примера показывают, насколько похожими могут быть формулировки при почти идентичной модели: меняется только объём работы и то, про какого именно участника задают финальный вопрос. Именно поэтому важно на последнем шаге перечитывать вопрос задачи, а не механически выдавать значение введённой переменной.

Типичные ошибки

Путаница между «переменная» и «искомая величина». Как видно из примера 2, ответ не всегда совпадает со введённой переменной $x$ — иногда нужно ещё раз подставить и вычислить. Многие теряют баллы именно на этом шаге, забывая пересчитать в конце.

Неверный перевод словесной разности во время. Фраза «первый выполняет заказ на 1 час быстрее» означает $t_2 - t_1 = 1$ (у второго время больше), а не наоборот. Ошибка в знаке разности сразу даёт неверное уравнение и, как правило, отрицательный или дробный «неправильный» корень.

Забытая проверка ОДЗ. Квадратное уравнение почти всегда даёт два корня, один из которых отрицательный или равен нулю — его нужно явно отбросить, объяснив почему (производительность не может быть неположительной).

Смешение объёма работы с производительностью. Если условие даёт «на 1 час быстрее» и «на 1 деталь в час больше», это две разные по смыслу величины (время и производительность), и нельзя вычитать их напрямую друг из друга — каждая идёт в своё уравнение или выражение.

Ошибки при приведении к общему знаменателю. При умножении уравнения $\dfrac{N}{x} - \dfrac{N}{x+1} = 1$ на $x(x+1)$ легко забыть раскрыть скобки правильно или потерять знак. Стоит выполнять этот шаг аккуратно, отдельно, и затем сразу проверять полученное квадратное уравнение подстановкой одного из корней.

Неправильный выбор переменной. Если обозначить производительность «более быстрого» участника, а не «более медленного», уравнение усложняется знаками (пришлось бы писать $x-1$ вместо $x+1$), что повышает риск арифметической ошибки. Лучше сразу обозначать переменной ту величину, которая по смыслу меньше (или про которую известно меньше условий).

На что обратить внимание на экзамене

• Внимательно определяйте, какая величина в задаче — объём работы (это всегда одно и то же число деталей/изделий для обоих исполнителей, если не сказано иное), а какая — производительность или время.
• Переводите фразы «на... быстрее/медленнее» и «на... больше/меньше» в уравнения сразу при первом чтении условия, отдельно фиксируя, к какой величине относится каждая фраза (время или производительность).
• После решения квадратного уравнения обязательно проверяйте оба корня на соответствие смыслу задачи: отрицательные и нулевые значения производительности и времени отбрасываются автоматически.
• Перед записью ответа перечитайте вопрос задачи ещё раз — часто спрашивают не про ту величину, которую вы обозначили переменной, а про производную от неё величину (производительность другого участника, время, суммарный объём за смену и т. п.).
• Делайте итоговую проверку, подставляя найденные числа обратно в условие: пересчитайте время каждого участника и убедитесь, что разница (или сумма) совпадает с данными задачи. Это занимает меньше минуты, но исключает арифметические ошибки и неверный отбор корня.
• Если дискриминант получился некрасивым (не точным квадратом), это сигнал вернуться и перепроверить составленное уравнение — в задании 10 профильного ЕГЭ ответы почти всегда получаются целыми числами.