Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим время, за которое первый рабочий выполнит всю работу самостоятельно, как $x$ дней.

Шаг 1: Найдём время работы второго рабочего.

По условию первый рабочий за 2 дня делает столько же, сколько второй за 3 дня. Это значит, что второй работает медленнее в $\frac{3}{2}$ раза, поэтому ему потребуется $\frac{3}{2}x$ дней на всю работу.

Шаг 2: Выразим производительность каждого рабочего.

Производительность — это часть работы, выполняемая за один день. Если первый рабочий выполняет всю работу за $x$ дней, его производительность $\frac{1}{x}$ работы в день. Производительность второго: $\frac{1}{\frac{3x}{2}} = \frac{2}{3x}$ работы в день.

Шаг 3: Используем условие совместной работы.

Когда рабочие работают вместе, их производительности складываются. За 12 дней они выполняют всю работу, значит, их суммарная производительность составляет $\frac{1}{12}$ работы в день:

$$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{12}$$

Шаг 4: Решаем уравнение.

Приводим левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{3}{3x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{12}$$

$$\frac{5}{3x} = \frac{1}{12}$$

Перемножаем крест-накрест:

$$5 \cdot 12 = 3x$$

$$x = \frac{60}{3} = 20$$

Первый рабочий выполнит работу за 20 дней.