Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим производительность (объём работы в минуту) первого, второго и третьего насосов как $v_1$, $v_2$ и $v_3$ соответственно.

Из условия составим три уравнения:

• Первый и второй вместе: $v_1 + v_2 = \frac{1}{9}$ (объём бассейна в минуту)
• Второй и третий вместе: $v_2 + v_3 = \frac{1}{14}$
• Первый и третий вместе: $v_1 + v_3 = \frac{1}{18}$

Сложим все три уравнения: $$(v_1 + v_2) + (v_2 + v_3) + (v_1 + v_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18}$$

$$2(v_1 + v_2 + v_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18}$$

Найдём сумму дробей. НОК(9, 14, 18) = 126: $$\frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18} = \frac{14}{126} + \frac{9}{126} + \frac{7}{126} = \frac{30}{126} = \frac{5}{21}$$

Тогда: $$2(v_1 + v_2 + v_3) = \frac{5}{21}$$

$$v_1 + v_2 + v_3 = \frac{5}{42}$$

Это означает, что три насоса вместе заполняют $\frac{5}{42}$ бассейна в минуту. Чтобы наполнить весь бассейн: $$t = \frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8,4 \text{ минуты}$$