Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим время, за которое первый принтер расходует одну пачку, как $t$ минут. Тогда второй принтер расходует пачку за $(t + 10)$ минут.

Производительность (скорость расхода бумаги) первого принтера — $\frac{1}{t}$ пачки в минуту, второго — $\frac{1}{t+10}$ пачки в минуту.

Когда оба принтера работают одновременно, их производительности складываются: $$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+10} = \frac{1}{12}$$

Это следует из условия, что вместе они расходуют 1 пачку за 12 минут, то есть совместная скорость $\frac{1}{12}$ пачки в минуту.

Приводим левую часть к общему знаменателю: $$\frac{t+10+t}{t(t+10)} = \frac{1}{12}$$

$$\frac{2t+10}{t^2+10t} = \frac{1}{12}$$

Перемножаем крест-накрест: $$12(2t+10) = t^2+10t$$

$$24t + 120 = t^2 + 10t$$

$$t^2 - 14t - 120 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$t = \frac{14 \pm \sqrt{196+480}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{14 \pm 26}{2}$$

Получаем $t = 20$ или $t = -6$.

Отрицательный корень не имеет физического смысла (время не может быть отрицательным), поэтому $t = 20$ минут.