Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим $n$ — производительность второго рабочего (деталей в час). Тогда первый рабочий делает $n + 1$ деталь в час.

Время работы связано с объёмом и производительностью формулой $t = \frac{V}{p}$, где $V$ — объём работы, $p$ — производительность.

Первый рабочий на 99 деталей тратит $\frac{99}{n+1}$ часов, второй на 110 деталей — $\frac{110}{n}$ часов.

По условию первый работает на 2 часа меньше: $$\frac{99}{n+1} + 2 = \frac{110}{n}$$

Приведём левую часть к единой дроби: $$\frac{99 + 2(n+1)}{n+1} = \frac{110}{n}$$

$$\frac{101 + 2n}{n+1} = \frac{110}{n}$$

Перемножим крест-накрест: $$n(101 + 2n) = 110(n+1)$$

$$101n + 2n^2 = 110n + 110$$

$$2n^2 - 9n - 110 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения: $$n = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 880}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{9 \pm 31}{4}$$

Получаем два корня: $n = \frac{40}{4} = 10$ или $n = \frac{-22}{4} = -5,5$.

Поскольку производительность не может быть отрицательной, $n = 10$.