Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим $x$ — производительность первой трубы (литры в минуту). Тогда вторая труба пропускает $x + 1$ литра в минуту.

Время заполнения резервуара объёмом 110 литров:

• первой трубой: $\frac{110}{x}$ минут
• второй трубой: $\frac{110}{x+1}$ минут

По условию первая труба заполняет резервуар на 1 минуту дольше: $$\frac{110}{x} - \frac{110}{x+1} = 1$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{110(x+1) - 110x}{x(x+1)} = 1$$

$$\frac{110x + 110 - 110x}{x(x+1)} = 1$$

$$\frac{110}{x(x+1)} = 1$$

Умножаем обе части на $x(x+1)$: $$110 = x^2 + x$$

Переносим всё в левую часть: $$x^2 + x - 110 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант: $$D = 1 + 440 = 441 = 21^2$$

$$x = \frac{-1 \pm 21}{2}$$

Получаем: $x = 10$ или $x = -11$.

Поскольку производительность не может быть отрицательной, $x = 10$ литров в минуту.