Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим $v$ — производительность второй трубы (литры в минуту). Тогда первая труба пропускает $(v - 5)$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара равно отношению объёма к производительности. Вторая труба заполняет 375 литров за $\frac{375}{v}$ минут, первая заполняет 500 литров за $\frac{500}{v-5}$ минут.

По условию вторая труба работает на 10 минут быстрее: $$\frac{500}{v-5} = \frac{375}{v} + 10$$

Приведём правую часть к общему знаменателю: $$\frac{500}{v-5} = \frac{375 + 10v}{v}$$

Перемножим крест-накрест: $$500v = (v-5)(375 + 10v)$$

Раскроем скобки справа: $$500v = 375v + 10v^2 - 1875 - 50v$$ $$500v = 10v^2 + 325v - 1875$$

Перенесём всё в одну сторону: $$10v^2 + 325v - 500v - 1875 = 0$$ $$10v^2 - 175v - 1875 = 0$$

Разделим на 5: $$2v^2 - 35v - 375 = 0$$

Применим формулу корней квадратного уравнения: $$v = \frac{35 \pm \sqrt{1225 + 3000}}{4} = \frac{35 \pm \sqrt{4225}}{4} = \frac{35 \pm 65}{4}$$

Получаем $v = \frac{100}{4} = 25$ или $v = \frac{-30}{4} = -7,5$.

Так как производительность положительна, $v = 25$ литров в минуту.