Задача 26592. Задачи на совместную работу

Обозначим $n$ — производительность второго рабочего (деталей в час). Тогда первый рабочий изготавливает $n + 1$ деталь в час.

Время, которое требуется каждому рабочему на выполнение заказа из 110 деталей:

• Второй рабочий: $\frac{110}{n}$ часов
• Первый рабочий: $\frac{110}{n+1}$ часов

По условию первый рабочий работает на 1 час быстрее, поэтому: $$\frac{110}{n} - \frac{110}{n+1} = 1$$

Приводим левую часть к общему знаменателю: $$\frac{110(n+1) - 110n}{n(n+1)} = 1$$

$$\frac{110n + 110 - 110n}{n(n+1)} = 1$$

$$\frac{110}{n(n+1)} = 1$$

Получаем: $$110 = n(n+1)$$ $$n^2 + n - 110 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $$(n - 10)(n + 11) = 0$$

Отсюда $n = 10$ или $n = -11$.

Так как производительность не может быть отрицательной, $n = 10$.

Проверка: второй рабочий делает 110 деталей за $\frac{110}{10} = 11$ часов, первый — за $\frac{110}{11} = 10$ часов. Разница ровно 1 час. ✓