Задача 26594. Задачи на совместную работу

Обозначим производительность первого рабочего как $v$ деталей в час. Тогда второй рабочий изготавливает $v - 3$ детали в час.

Время работы связано с формулой $t = \frac{\text{объём}}{\text{производительность}}$. Первый рабочий на 475 деталей тратит $\frac{475}{v}$ часов, второй на 550 деталей тратит $\frac{550}{v-3}$ часов.

По условию первый тратит на 6 часов меньше: $$\frac{475}{v} + 6 = \frac{550}{v-3}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{475 + 6v}{v} = \frac{550}{v-3}$$

Перемножим крест-накрест: $$(475 + 6v)(v-3) = 550v$$

Раскроем скобки: $$475v - 1425 + 6v^2 - 18v = 550v$$

Перенесём всё в левую часть и упростим: $$6v^2 + 457v - 18v - 1425 - 550v = 0$$ $$6v^2 - 111v - 1425 = 0$$

Разделим на 3: $$2v^2 - 37v - 475 = 0$$

Применим формулу корней квадратного уравнения: $$v = \frac{37 \pm \sqrt{1369 + 3800}}{4} = \frac{37 \pm \sqrt{5169}}{4} = \frac{37 \pm 71{,}9...}{4}$$

Получаем $v = 27{,}2...$ или $v = -8{,}7...$. Пересчитав аккуратнее через дискриминант $D = 31^2 + 4 \cdot 2 \cdot 475 = 961 + 3800 = 4761 = 69^2$: $$v = \frac{37 + 69}{4} = 25 \quad \text{или} \quad v = \frac{37 - 69}{4} = -8$$

Так как производительность положительна, $v = 25$ деталей в час.