Задача 26598. Задачи на совместную работу

Обозначим производительность второй трубы как $x$ л/мин. Тогда первая труба пропускает $x - 1$ л/мин.

Время заполнения резервуара объёмом 110 л:

• первой трубой: $\frac{110}{x-1}$ минут
• второй трубой: $\frac{110}{x}$ минут

По условию вторая труба заполняет резервуар на 1 минуту быстрее, то есть её время на 1 минуту меньше:

$$\frac{110}{x-1} - \frac{110}{x} = 1$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{110x - 110(x-1)}{x(x-1)} = 1$$

$$\frac{110x - 110x + 110}{x(x-1)} = 1$$

$$\frac{110}{x(x-1)} = 1$$

Умножим обе части на $x(x-1)$:

$$110 = x(x-1)$$

$$x^2 - x - 110 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 440}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{1 \pm 21}{2}$$

Получаем $x = 11$ или $x = -10$.

Так как производительность не может быть отрицательной, $x = 11$.