Задача 99619. Задачи на совместную работу

Обозначим неизвестное: Пусть вторая труба наполняет резервуар за $x$ минут. Тогда первая труба наполняет его за $x + 6$ минут (на 6 минут дольше).

Найдём производительность каждой трубы: Производительность — это часть резервуара, которую труба заполняет за одну минуту:

• вторая труба: $\frac{1}{x}$ резервуара в минуту
• первая труба: $\frac{1}{x+6}$ резервуара в минуту

Составим уравнение: Когда работают обе трубы одновременно 4 минуты, они наполняют весь резервуар. Значит, за 1 минуту вместе они наполняют $\frac{1}{4}$ резервуара: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}$$

Решим уравнение: Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{x+6+x}{x(x+6)} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{2x+6}{x(x+6)} = \frac{1}{4}$$

Перемножим крест-накрест: $$4(2x+6) = x(x+6)$$ $$8x + 24 = x^2 + 6x$$ $$x^2 - 2x - 24 = 0$$

Заметим, что $x = 6$ — корень уравнения: $36 - 12 - 24 = 0$ ✓

При разложении: $(x-6)(x+4) = 0$, откуда $x = 6$ или $x = -4$.

Поскольку время не может быть отрицательным, $x = 6$ минут.