Задача 26599. Задачи на совместную работу

Обозначим пропускную способность первой трубы как $x$ литров в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x + 1$ литр в минуту.

Время заполнения резервуара равно объёму, делённому на пропускную способность. Первая труба заполняет 110 литров за $\frac{110}{x}$ минут, вторая заполняет 99 литров за $\frac{99}{x+1}$ минут.

По условию первая труба работает на 2 минуты дольше: $$\frac{110}{x} = \frac{99}{x+1} + 2$$

Приводим к общему знаменателю левую часть: $$\frac{110}{x} - 2 = \frac{99}{x+1}$$ $$\frac{110 - 2x}{x} = \frac{99}{x+1}$$

Перемножаем крест-накрест: $$(110 - 2x)(x+1) = 99x$$ $$110x + 110 - 2x^2 - 2x = 99x$$ $$-2x^2 + 108x + 110 = 99x$$ $$-2x^2 + 9x + 110 = 0$$ $$2x^2 - 9x - 110 = 0$$

Применяем формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 880}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{9 \pm 31}{4}$$

Получаем два корня: $x = \frac{40}{4} = 10$ и $x = \frac{-22}{4} = -5,5$.

Поскольку пропускная способность не может быть отрицательной, $x = 10$.