Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим время работы первого фильтра как $t$ минут. Тогда второй фильтр работает $t - 25$ минут (так как он быстрее на 25 минут).

Производительность — это доля работы за одну минуту. Первый фильтр имеет производительность $\frac{1}{t}$ цистерны в минуту, второй — $\frac{1}{t-25}$ цистерны в минуту.

Когда фильтры работают вместе, их производительности складываются: $$\frac{1}{t} + \frac{1}{t-25}$$

По условию вместе они очищают цистерну за 30 минут, значит совместная производительность равна $\frac{1}{30}$ цистерны в минуту. Составляем уравнение: $$\frac{1}{t} + \frac{1}{t-25} = \frac{1}{30}$$

Приводим левую часть к общему знаменателю: $$\frac{t-25+t}{t(t-25)} = \frac{1}{30}$$ $$\frac{2t-25}{t(t-25)} = \frac{1}{30}$$

Перемножаем крест-накрест: $$30(2t-25) = t(t-25)$$ $$60t - 750 = t^2 - 25t$$ $$t^2 - 85t + 750 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$t = \frac{85 \pm \sqrt{7225-3000}}{2} = \frac{85 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{85 \pm 65}{2}$$

Получаем $t = 75$ или $t = 10$. Проверим $t = 10$: второй фильтр работал бы $10 - 25 = -15$ минут — невозможно. Значит, $t = 75$ минут.

Второй фильтр очищает цистерну за $75 - 25 = 50$ минут.