Задача 99616. Задачи на совместную работу

Обозначим производительность (часть забора в час) Игоря, Паши и Володи через $i$, $p$ и $v$ соответственно.

Шаг 1: Выпишем уравнения на основе условия.

Игорь и Паша вместе красят забор за 9 часов, значит за 1 час они красят $\frac{1}{9}$ забора: $$i + p = \frac{1}{9}$$

Паша и Володя за 1 час красят $\frac{1}{12}$ забора: $$p + v = \frac{1}{12}$$

Волода и Игорь за 1 час красят $\frac{1}{18}$ забора: $$v + i = \frac{1}{18}$$

Шаг 2: Сложим все три уравнения.

При сложении левые части дают: $$(i + p) + (p + v) + (v + i) = 2i + 2p + 2v = 2(i + p + v)$$

При сложении правые части дают: $$\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{18}$$

Приведём к общему знаменателю 36: $$\frac{4}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$

Шаг 3: Найдём производительность всех троих.

$$2(i + p + v) = \frac{1}{4}$$ $$i + p + v = \frac{1}{8}$$

Это означает, что втроём они красят $\frac{1}{8}$ забора за 1 час.

Шаг 4: Найдём время покраски всего забора.

Если за час красят $\frac{1}{8}$ забора, то весь забор покрасят за: $$t = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 \text{ часов}$$