Задача 501213. Задачи на совместную работу

Обозначим $n$ — количество задач, которые Гоша решает за час. Тогда Вова решает $n + 2$ задачи за час.

Вместе они решают $n + (n + 2) = 2n + 2$ задачи за час.

Составим уравнение на основе условия о времени:

• Время, за которое Вова один решит 33 задачи: $\frac{33}{n+2}$ часов
• Время, за которое они вместе решат 33 задачи: $\frac{33}{2n+2}$ часов
• Разница времён равна 1 часу 15 минут = 1,25 часов

Уравнение: $$\frac{33}{n+2} - \frac{33}{2n+2} = 1,25$$

Приводим к общему знаменателю $(n+2)(2n+2)$: $$\frac{33(2n+2) - 33(n+2)}{(n+2)(2n+2)} = 1,25$$

Вычисляем числитель: $$33(2n+2) - 33(n+2) = 66n + 66 - 33n - 66 = 33n$$

Получаем: $$\frac{33n}{(n+2)(2n+2)} = 1,25$$

Раскрываем скобки и переносим: $$33n = 1,25(n+2)(2n+2)$$ $$33n = 1,25(2n^2 + 2n + 4n + 4)$$ $$33n = 1,25(2n^2 + 6n + 4)$$ $$33n = 2,5n^2 + 7,5n + 5$$ $$2,5n^2 - 25,5n + 5 = 0$$

Умножаем на 2 для удобства: $$5n^2 - 51n + 10 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения: $$n = \frac{51 \pm \sqrt{2601 - 200}}{10} = \frac{51 \pm \sqrt{2401}}{10} = \frac{51 \pm 49}{10}$$

Получаем $n = 10$ или $n = 0,2$.

Поскольку за час решается целое число задач, $n = 10$.

Гоша решает 10 задач в час, значит 20 задач он решит за $\frac{20}{10} = 2$ часа.