Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Шаг 1. Переведём разницу скоростей в км/ч.

Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 м меньше, чем скорый. Это означает разницу скоростей: $$750 \text{ м/мин} = 750 \cdot \frac{60}{1000} \text{ км/ч} = \frac{45000}{1000} = 45 \text{ км/ч}$$

Так что скорый поезд едет на 45 км/ч быстрее товарного.

Шаг 2. Введём переменную.

Пусть $v$ км/ч — скорость товарного поезда. Тогда скорость скорого поезда равна $(v + 45)$ км/ч.

Шаг 3. Составим уравнение по условию времени.

Время прохождения 180 км для товарного поезда: $\frac{180}{v}$ часов.

Время прохождения 180 км для скорого поезда: $\frac{180}{v+45}$ часов.

По условию товарный поезд тратит на 2 часа больше: $$\frac{180}{v} = \frac{180}{v+45} + 2$$

Шаг 4. Решим уравнение.

Приведём к общему знаменателю: $$\frac{180}{v} = \frac{180 + 2(v+45)}{v+45} = \frac{180 + 2v + 90}{v+45} = \frac{270 + 2v}{v+45}$$

Перемножим крест-накрест: $$180(v+45) = v(270 + 2v)$$ $$180v + 8100 = 270v + 2v^2$$ $$2v^2 + 90v - 8100 = 0$$ $$v^2 + 45v - 4050 = 0$$

Шаг 5. Найдём корни.

По формуле Виета или дискриминанту: $v = 45$ или $v = -90$.

Поскольку скорость положительна, $v = 45$ км/ч.