Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим $S$ км — расстояние от A до C, $v$ км/ч — скорость автомобиля, $t$ ч — время движения мотоциклиста от A до C.

Составляем уравнения по условиям:

1. Мотоциклист выехал на 0,5 ч позже автомобиля и встретил его в C. За время $t$ мотоциклист проехал $S$ км со скоростью 90 км/ч, а автомобиль проехал то же расстояние $S$ за время $(t + 0,5)$ ч: $$\left(t + \frac{1}{2}\right)v = 90t$$

2. После встречи мотоциклист вернулся в A (ещё $t$ часов), а автомобиль продолжил путь до B (ещё 150 км всего). Общее время автомобиля: $(2t + 0,5)$ часов, расстояние 150 км: $$\left(2t + \frac{1}{2}\right)v = 150$$

Решаем систему:

Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{2t + 0,5}{t + 0,5} = \frac{150}{90t} = \frac{5}{3t}$$

Приведём к общему знаменателю слева: $\frac{2t + 0,5}{t + 0,5} = \frac{4t + 1}{2t + 1}$

Получим: $$\frac{4t + 1}{2t + 1} = \frac{5}{3t}$$

Кросс-умножаем: $$3t(4t + 1) = 5(2t + 1)$$ $$12t^2 + 3t = 10t + 5$$ $$12t^2 - 7t - 5 = 0$$

По формуле или разложению: $(3t - 1)(4t + 5) = 0$

Станет ясно, что $t = 1$ (положительный корень, так как $4t + 5 = 0$ даёт отрицательное значение).

Находим расстояние:

Из первого уравнения при $t = 1$: $$\left(1 + \frac{1}{2}\right)v = 90 \cdot 1 \implies v = 60 \text{ км/ч}$$

Расстояние $S = 90t = 90 \cdot 1 = 90$ км.