Задание 10 ЕГЭ, математика (профиль): Текстовые задачи

Обозначим расстояние между городами за 1 (единичное расстояние). Пусть велосипедист затратил на весь путь $x$ часов, тогда мотоциклист затратил $x - 3$ часа (так как он приехал на 3 часа раньше).

Скорость велосипедиста: $\frac{1}{x}$, скорость мотоциклиста: $\frac{1}{x-3}$.

Ключевое условие: они встретились через 48 минут = $\frac{48}{60} = \frac{4}{5}$ часа. За это время они вместе преодолели всё расстояние между городами:

$$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3}\right) \cdot \frac{4}{5} = 1$$

Упростим левую часть: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{x-3+x}{x(x-3)} = \frac{2x-3}{x(x-3)}$$

Подставим: $$\frac{2x-3}{x(x-3)} \cdot \frac{4}{5} = 1$$

$$4(2x-3) = 5x(x-3)$$

$$8x - 12 = 5x^2 - 15x$$

$$5x^2 - 23x + 12 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения или разложением: $$x = \frac{23 \pm \sqrt{529-240}}{10} = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{23 \pm 17}{10}$$

Получаем $x = 4$ или $x = 0{,}6$.

По условию $x > 3$ (иначе мотоциклист не может приехать раньше). Значит, $x = 4$ часа.