Показательные уравнения в задании 6 ЕГЭ профиль: разбор и алгоритм

О чём эта подтема

Задание 6 ЕГЭ профильного уровня часто содержит простейшее показательное уравнение — уравнение, где неизвестная стоит в показателе степени. Такие задачи проверяют, умеешь ли ты работать со свойствами степеней и приводить обе части уравнения к одному основанию. Это одна из самых «дешёвых» по времени тем: при знании правил решение занимает меньше минуты, а ошибка почти всегда связана не с логикой, а с невнимательностью при работе со степенями.

Показательные уравнения встречаются не только в отдельном задании — навык приведения чисел к одному основанию нужен и в более сложных задачах (например, в заданиях с логарифмами или в текстовых задачах на уравнения). Поэтому эту тему стоит закрыть полностью, довести до автоматизма.

В базовом варианте задания 6 уравнение выглядит так: $a^{f(x)} = b$, где $a>0$, $a \neq 1$, а $b$ — число, которое можно представить как степень того же основания $a$. Задача сводится к тому, чтобы «снять» степень и решить получившееся линейное (реже — иное простое) уравнение относительно $x$.

Что нужно знать

Для решения простейших показательных уравнений достаточно твёрдо знать несколько фактов.

1. Определение показательной функции. Функция $y = a^x$ определена при $a>0$, $a \neq 1$, и является монотонной (строго возрастающей при $a>1$ и строго убывающей при $0<a<1$). Это гарантирует, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ — то есть из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство показателей, и наоборот.

2. Свойства степеней, которые применяются постоянно: $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \qquad (a^{m})^{n} = a^{mn}, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}.$$

Также полезно помнить: $$a^{0} = 1 \ (a \neq 0), \qquad \sqrt[n]{a} = a^{1/n}, \qquad \sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.$$

3. Таблица степеней небольших чисел. Чтобы быстро узнавать, какое число является степенью какого основания, полезно держать в голове степени 2, 3, 5, 7, 10:

• $2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ 2^5=32,\ 2^6=64,\ 2^7=128,\ 2^8=256,\ 2^9=512,\ 2^{10}=1024$;
• $3^1=3,\ 3^2=9,\ 3^3=27,\ 3^4=81,\ 3^5=243$;
• $5^1=5,\ 5^2=25,\ 5^3=125,\ 5^4=625$;
• $10^1=10,\ 10^2=100,\ 10^3=1000$.

Это позволяет мгновенно узнать, например, что $64 = 2^6$ или $125 = 5^3$.

4. Работа с дробями и отрицательными показателями. Число вида $\frac{1}{a^n}$ всегда можно записать как $a^{-n}$. Именно этот приём нужен, когда справа стоит обычная дробь вида $\frac{1}{125}$ или $\frac{1}{16}$.

5. ОДЗ показательного уравнения. У функции $a^{f(x)}$ область определения — все действительные числа (при условии $a>0$), поэтому дополнительных ограничений на $x$ обычно нет, если только показатель сам не содержит, например, знаменатель с переменной. В простейших случаях задания 6 таких ограничений, как правило, нет — но проверять их всё же стоит, если показатель — не многочлен.

Как решать: метод и алгоритм

Основная идея решения простейшего показательного уравнения — свести обе части к степеням одного и того же основания, а затем приравнять показатели.

Алгоритм.

1. Посмотри на уравнение и определи основание степени в левой части — это число $a$.
2. Постарайся представить правую часть как степень того же числа $a$: $b = a^{k}$ для некоторого числа $k$ (целого, рационального или отрицательного).
3. Если правая часть — дробь, вспомни, что $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.
4. Если правая часть — корень, переведи его в степень: $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}$.
5. Когда обе части записаны как степени одного основания $a^{f(x)} = a^{k}$, переходи к равенству показателей: $f(x) = k$.
6. Решай полученное (обычно линейное) уравнение относительно $x$.
7. Если показатель содержит квадрат $x$ или более сложное выражение, после перехода к равенству показателей может получиться квадратное или иное уравнение — решай его стандартными методами.
8. Проверь ответ подстановкой в исходное уравнение — это быстро и снимает почти все ошибки со знаками.

Если основания слева и справа изначально разные, но являются степенями одного и того же простого числа (например, 4 и 8 — степени двойки), сначала приведи оба к этому общему основанию, а затем действуй по тому же алгоритму.

Важный частный случай: если в уравнении есть произведение или частное степеней с одинаковым основанием, сначала упрости выражение по свойствам степеней, а затем сравнивай показатели.

Разбор примера

Пример 1. Найдите корень уравнения $$2^{4-2x} = 64.$$

Шаг 1. Определяем основание в левой части — это число $2$.

Шаг 2. Представляем правую часть как степень двойки. Вспоминаем таблицу степеней: $2^6 = 64$. Значит, $$64 = 2^{6}.$$

Шаг 3. Записываем уравнение с одинаковыми основаниями: $$2^{4-2x} = 2^{6}.$$

Шаг 4. Так как функция $y=2^x$ строго монотонна, равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей: $$4-2x = 6.$$

Шаг 5. Решаем линейное уравнение: $$-2x = 6-4,$$ $$-2x = 2,$$ $$x = -1.$$

Шаг 6. Проверка: подставим $x=-1$ в исходное уравнение: $$2^{4-2\cdot(-1)} = 2^{4+2} = 2^{6} = 64.$$ Равенство верно, значит корень найден правильно.

Ответ: $x=-1$.

Пример 2. Найдите корень уравнения $$5^{x-7} = \frac{1}{125}.$$

Шаг 1. Основание в левой части — число $5$.

Шаг 2. Правая часть — дробь. Сначала представим знаменатель как степень пятёрки: по таблице степеней $125 = 5^{3}$. Значит, $$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^{3}}.$$

Шаг 3. Используем свойство $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$: $$\frac{1}{5^{3}} = 5^{-3}.$$

Шаг 4. Уравнение принимает вид: $$5^{x-7} = 5^{-3}.$$

Шаг 5. Приравниваем показатели (основания одинаковые и функция монотонна): $$x-7 = -3.$$

Шаг 6. Решаем уравнение: $$x = -3+7 = 4.$$

Шаг 7. Проверка: подставим $x=4$: $$5^{4-7} = 5^{-3} = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125}.$$ Равенство совпадает с исходным условием.

Ответ: $x=4$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: как только правая часть представлена как степень основания левой части, всё уравнение сводится к простому линейному уравнению относительно показателя. Главная техническая трудность — правильно и быстро подобрать нужную степень (особенно если число большое или представлено дробью).

Типичные ошибки

Ошибка со знаком при переходе к отрицательному показателю. Часто путают $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ и по ошибке пишут $a^{n}$ или теряют минус при переносе. Стоит всегда явно проговаривать: «единица, деленная на $a$ в степени $n$, равна $a$ в степени минус $n$».

Неверное определение степени числа. Например, ошибочно считают, что $64=2^{5}$ или $125=5^{2}$. Чтобы избежать этого, полезно держать в голове таблицу степеней или быстро проверять результат обратным умножением.

Ошибки при раскрытии скобок в показателе. В примере 1 показатель $4-2x$ часто путают при решении уравнения $4-2x=6$: забывают знак минус перед $2x$ или неправильно переносят слагаемые. Полезно решать пошагово, не пропуская промежуточные записи.

Забывание про равенство именно показателей, а не оснований. Иногда по невнимательности приравнивают числа основания вместо показателей или наоборот, особенно если уравнение записано не в привычном виде.

Неправильный перевод корня в степень. Когда в правой части стоит корень (например, $\sqrt{a}$ или $\sqrt[3]{a^2}$), забывают, что $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$, и допускают ошибку в дробном показателе.

Пропуск проверки. Особенно при отрицательных числах или дробях легко получить неверный ответ из-за арифметической ошибки на последнем шаге. Проверка подстановкой занимает несколько секунд и должна быть обязательным этапом решения.

Путаница с основанием меньше единицы. Если $0<a<1$, функция убывающая, но правило о равносильности равенства показателей при равных основаниях сохраняется — ошибка здесь скорее концептуальная: некоторые школьники начинают менять знак неравенства (что актуально для показательных неравенств, а не уравнений) и по инерции меняют знак равенства, что неверно и не нужно.

На что обратить внимание на экзамене

В задании 6 профильного ЕГЭ такие уравнения обычно решаются за 1–2 минуты, если ты уверенно знаешь таблицу степеней и свойства степеней. Стоит заранее выучить степени чисел 2, 3, 5, 7 и 10 до разумного предела — это резко ускоряет работу и снижает вероятность ошибки при подборе показателя.

Перед тем как приравнивать показатели, убедись, что основания в обеих частях уравнения действительно совпадают — иногда придётся сначала привести оба выражения к одному и тому же простому числу (например, если слева стоит $4^{x}$, а справа $8$, оба числа — степени двойки: $4=2^2$, $8=2^3$).

Если в показателе стоит не линейное выражение, а квадратное (например, $x^2$ вместо $x$), после приравнивания показателей получится квадратное уравнение — не забудь решить его полностью и проверить оба корня, если задание просит найти все корни или их сумму.

Всегда выполняй финальную проверку — подставь найденный корень в исходное уравнение. Это особенно важно при отрицательных показателях и дробях, где легко перепутать знаки.

Если в бланке ответов просят записать не сам корень, а, например, сумму корней или количество решений, внимательно перечитай формулировку задания перед тем, как вписывать финальный ответ — техническая ошибка в оформлении может обесценить верное решение.