Задача 26652. Показательные уравнения

Решаем показательное уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^{x-8} = \frac{1}{9}$.

Шаг 1. Приводим обе части уравнения к одному основанию.

Левая часть уже имеет основание $\frac{1}{3}$. Преобразуем правую часть: заметим, что $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.

Шаг 2. Подставляем преобразованное выражение: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-8} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$$

Шаг 3. Используем свойство показательного уравнения: если $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0$, $a \neq 1$), то $f(x) = g(x)$. В нашем случае основание $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условиям, поэтому приравниваем показатели степеней: $$x - 8 = 2$$

Шаг 4. Решаем простое линейное уравнение: $$x = 10$$