ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задача 26655. Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 13 правая круглая скобка =3.

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведи обе части уравнения к одной и той же степени одного основания, тогда показатели степеней должны быть равны.

Приведём обе части уравнения к одному основанию.

Заметим, что 19=3−2\frac{1}{9} = 3^{-2}, так как 3−2=132=193^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.

Подставим это в исходное уравнение: (3−2)x−13=3\left(3^{-2}\right)^{x-13} = 3

Применим правило степени степени: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}. Перемножим показатели: 3−2(x−13)=33^{-2(x-13)} = 3

Раскроем скобки в показателе: 3−2x+26=33^{-2x+26} = 3

Представим правую часть как степень с основанием 3: 3−2x+26=313^{-2x+26} = 3^1

Так как основания равны и положительны (и не равны 1), то равны и показатели степеней: −2x+26=1-2x + 26 = 1

Решаем линейное уравнение: −2x=1−26-2x = 1 - 26 −2x=−25-2x = -25 x=12,5x = 12,5

Типичные ошибки

  • Ошибка в преобразовании дроби: забыли, что 19=3−2\frac{1}{9} = 3^{-2}, а не 323^2
  • Неправильное применение правила степени степени: (am)n≠am+n(a^m)^n \neq a^{m+n}, нужно перемножить показатели
  • Ошибка при раскрытии скобок в показателе: −2(x−13)=−2x+26-2(x-13) = -2x + 26, а не −2x−26-2x - 26

Ещё задачи этой подтемы