ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения 5 в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведение обеих частей уравнения к одному основанию позволяет приравнять показатели степеней благодаря монотонности показательной функции.

Решаем уравнение 5x−7=11255^{x-7}=\frac{1}{125}.

Шаг 1. Представим правую часть как степень числа 5.

Заметим, что 125=53125 = 5^3, поэтому 1125=153=5−3\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}.

Шаг 2. Перепишем уравнение с одинаковым основанием.

5x−7=5−35^{x-7} = 5^{-3}

Шаг 3. Применим свойство показательной функции.

Поскольку показательная функция с основанием 5>15 > 1 является монотонно возрастающей, то если степени равны, то равны и их показатели:

x−7=−3x - 7 = -3

Шаг 4. Решим линейное уравнение.

x=−3+7=4x = -3 + 7 = 4

Проверка: 54−7=5−3=11255^{4-7} = 5^{-3} = \frac{1}{125} ✓

Типичные ошибки

  • Забывают, что 1125=5−3\frac{1}{125} = 5^{-3}, а не 535^3, и ошибаются со знаком показателя
  • Неправильно вычисляют, какая степень тройки даёт 125 (проверяют: 52=255^2=25, 53=1255^3=125)
  • Ошибаются при решении простого линейного уравнения x−7=−3x-7=-3, получая неверный ответ
Непонятно?

Похожие задачи